Question

Вiдрiзок DC-перпендикуляр до площини трикутника АBC. Знайдіть площу трикутника ADB, якщо < ACB = 90°, BC = 15 см, AB = 17 см, а кут між площинами ABC i ABD дорівнює 30°.​

Answer 1

Ответ:

40√3(см²)

Объяснение:

Перевод: Отрезок DC-перпендикуляр к плоскости треугольника АBC. Найдите площадь треугольника ADB, если ∠ACB = 90°, BC = 15 см, AB = 17 см, а угол между плоскостями ABC и ABD равен 30°.

Дано:

∆АВС - прямоугольный , ∠АСВ = 90°

DC⊥(ABC) , BC = 15см , АВ = 17см

∠((АВС);(АВD)) = 30°

Найти:

$\sf S_{ \vartriangle ADB}$

Решение:

• Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Тогда проведем СК⊥АВ и DK⊥AB , искомый угол между плоскостями АВС и АВD - это ∠DKC.

Рассмотрим прямоугольный ∆АВС. Найдём АС по теореме Пифагора:

${AC = \sqrt{AB^2-BC^2}} \\ \\ AC = \sqrt{17 {}^{2} -15 {}^{2} } = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8(cm)$

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Речь идет про высоту СК , найдём её:

$\displaystyle CK=\frac{AC\cdot BC}{AB}\\\\CK = \frac{8 \cdot15}{17} = \frac{120}{17} (cm)$

Так как по условию DС перпендикулярна к плоскости треугольника АВС , то она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости.

Следовательно , рассмотрим прямоугольный ∆DCK , найдём DK через косинус острого угла DKC.

• Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\displaystyle \cos \angle DKC = \frac{CK}{DK} \\ \\ DK = \frac { \frac{120}{17} }{ \cos30 {}^{ \circ} } = \frac{120}{17} \cdot \frac{2}{ \sqrt{3} } = \frac{240}{17 \sqrt{3} } (cm)$

• Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту , проведенную к этой стороне.

Находим площадь треугольника ADB:

$\displaystyle \boldsymbol{S_{ \vartriangle ADB} = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot\frac{240 }{ 17 \sqrt{3} } = \frac{120}{ \sqrt{3} } = \frac{120}{ \sqrt{3} } \cdot \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 40 \sqrt{3} (cm {}^{2} ) }$

#SPJ1