Question

Сума катетів прямокутного трикутника на 10 см більша від гіпотенузи. Знайдіть площу круга , вписаного в цей трикутник.

Answer 1

Впишем окружность в прямоугольный треугольник,  Отрезки касательных проведённых из каждой вершины треугольника будут равны между собой. Поэтому гипотенузу можно составить из двух частей катетов, а 10см на которые сумма катетов больше как раз равны двум радиусам вписанной окружности, то есть  радиус равен 5 см, значит площадь равна 25π см кв.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку визначимо, які величини у нас є в прямокутному трикутнику.

Припустимо, що катети трикутника мають довжину \( a \) і \( b \), а гіпотенуза - \( c \). За умовою задачі ми маємо:

\[ a + b = c + 10 \]

Тепер розглянемо вписаний в трикутник коло. Радіус цього кола \( r \) можна знайти за допомогою формули:

\[ r = \frac{{a + b - c}}{2} \]

Після того, як ми знайдемо \( r \), можемо знайти площу вписаного круга за формулою:

\[ S_{\text{круга}} = \pi r^2 \]

Тепер давайте вирішимо ці кроки.

1. Розв'яжемо рівняння для катетів:

\[ a + b = c + 10 \]

З умови задачі ми можемо записати \( b = c - 10 - a \). Підставимо це значення у рівняння:

\[ a + (c - 10 - a) = c + 10 \]

Розв'яжемо це рівняння для \( a \) і \( b \).

2. Знайдемо радіус вписаного круга:

\[ r = \frac{{a + b - c}}{2} \]

Використовуючи знайдені значення \( a \), \( b \), і \( c \), розрахуємо \( r \).

3. Знайдемо площу вписаного круга:

\[ S_{\text{круга}} = \pi r^2 \]

Підставимо значення \( r \) у цю формулу і розрахуємо площу круга.

Це дозволить вам знайти площу вписаного круга в прямокутний трикутник з заданими умовами.