Question

Дві сторони, які виходять з однієї вершини паралелограма, задано відповідно рівняннями 5х – 3у + 28 =0, х – 3у – 4 = 0; координати протилежної вершини паралелограма (10;6). Складіть рівняння двох інших сторін паралелограма та його діагоналей

Answer 1

Решение.

Пусть заданные прямые  $\boldsymbol{ l_1}:\bf 5x-3y+28=0$  и   $\boldsymbol{ l_2}:\bf x-3y-4=0$  выходят из вершины А .

$\bf \boldsymbol{ l_1}:\ 5x-3y+28=0\ ,\ \ 3y=5x+28\ ,\ \ y=\dfrac{5}{3}\, x+\dfrac{28}{3}\ ,\ \ \ k_1=\dfrac{5}{3}\\\\\bf \boldsymbol{ l_2}:\ x-3y-4=0\ ,\ \ 3y=x-4\ ,\ \ y=\dfrac{1}{3}\, x-\dfrac{4}{3}\ ,\ \ \ k_2=\dfrac{1}{3}$

Вершина С имеет координаты  С(10:6) . Она принадлежит прямым,

параллельным указанным выше прямым  $\boldsymbol{ l_1}$  и  $\boldsymbol{ l_2}$  .

Составим их уравнения.

$\bf a)\ \ \boldsymbol{ l_1}\parallel \boldsymbol{ l_3}\ \ \Rightarrow \ \ \bf k_3=k_1\ ,\ \ C(10;6)\in \boldsymbol{ l_3}\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{ l_3}:\ \ \bf y=\dfrac{5}{3}\, x+b$  

Подставим координаты точки С в уравнение  $\boldsymbol{ l_3}$  .

$\bf 6=\dfrac{5}{3}\cdot 10+b\ \ ,\ \ b=6-\dfrac{50}{3}=-\dfrac{32}{3}$

Уравнение   $\boldsymbol{ l_3}:\ \ \bf y=\dfrac{5}{3}\, x-\dfrac{32}{3}\ \ ,\ \ \ \underline{5x-3y-32=0}$  .

$\bf b)\ \ \boldsymbol{ l_2}\parallel \boldsymbol{ l_4}\ \ \Rightarrow \ \ \bf k_4=k_2\ ,\ \ C(10;6)\in \boldsymbol{ l_4}\ \ \Rightarrow \ \ \ \boldsymbol{ l_4}:\ \ \bf y=\dfrac{1}{3}\, x+b$  

Подставим координаты точки С в уравнение  $\boldsymbol{ l_4}$  .

$\bf 6=\dfrac{1}{3}\cdot 10+b\ \ ,\ \ b=6-\dfrac{10}{3}=\dfrac{8}{3}$

Уравнение   $\boldsymbol{ l_4}:\ \ \bf y=\dfrac{1}{3}\, x+\dfrac{8}{3}\ \ ,\ \ \ \underline{x-3y+8=0}$  .

Уравнение диагонали АС составим как уравнение прямой, проходящей через две точки . Координаты точки А найдём как точку пересечения прямых  $\boldsymbol{l_1}$  и  $\boldsymbol{l_3}$  .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 5x-3y=-28\\\bf x-3y=4\ |\cdot (-5)\end{array}\right\ +\ \left\{\begin{array}{l}\bf 12y=-48\\\bf x-3y=4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=-4\\\bf x=-8\end{array}\right\ \ \ \bf A(-8;-4)$

$\bf AC:\ \dfrac{x+8}{10+8}=\dfrac{y+4}{6+4}\ \ ,\ \ \ \dfrac{x+8}{18}=\dfrac{y+4}{10}\ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{x+8}{9}=\dfrac{y+4}{5}\\\\\\5x+40=9y+36\ \ ,\ \ \ \underline{\bf 5x-9y+4=0\ }$

Диагональ ВD проходит через точку В - точку пересечения  $\boldsymbol{l_1\ ,\ l_4}$  , и точку D - точку пересечения  $\boldsymbol{l_2\ ,\ l_3}$  .

$\left\{\begin{array}{l}\bf 5x-3y=-28\\\bf x-3y=-8\ |\cdot (-5)\end{array}\right\ +\ \left\{\begin{array}{l}\bf 12y=12\\\bf x=3y-8\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=1\\\bf x=-5\end{array}\right\ \ \ \bf B(-5;\, 1\, )$

$\left\{\begin{array}{l}\bf x-3y=4\ |\cdot (-5)\\\bf 5x-3y=32\end{array}\right\ +\ \left\{\begin{array}{l}\bf 12y=12\\\bf 5x=3y+32\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf y=1\\\bf x=7\end{array}\right\ \ \ \bf D(\, 7\, ;\, 1\, )$  

$\bf BD:\ \dfrac{x+5}{7+5}=\dfrac{y-1}{[1-1]}\ \ ,\ \ \ \ \underline {y-1=0}$  

Ответ:   $\bf BC:x-3y+8=0\ ,\ CD:5x-3y-32=0\ ,$

             $\bf AC:5x-9y+4=0\ ,\ BD:y-1=0\ .$  

Answer 2

Для початку складемо систему рівнянь, використовуючи дані про рівняння сторін паралелограма:

5х – 3у + 28 = 0 (1) х – 3у – 4 = 0 (2)

Потрібно знайти значення х та у, щоб ці рівняння були задоволені.

Для цього віднімемо від другого рівняння перше рівняння:

(2) - (1): x – 5х + 3у – 3у – 4 – 28 = 0 -4х – 32 = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння:

-4х = 32 х = -32/4 х = -8

Підставимо значення х в рівняння (1):

5*(-8) – 3у + 28 = 0 -40 - 3у + 28 = 0 -3у - 12 = 0 -3у = 12 у = 12/-3 у = -4

Таким чином, отримали координати вершини паралелограма, які паралельні до заданих сторін: (-8, -4).

Існує кілька способів скласти рівняння сторони паралелограма та його діагоналей. Один із способів - використати відстань між вершинами паралелограма.

Для обчислення відстані між двома точками на площині можна скористатись формулою відстані:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Застосуємо цю формулу для знаходження довжини однієї сторони паралелограма:

d = √((10 - (-8))^2 + (6 - (-4))^2) d = √((18)^2 + (10)^2) d = √(324 + 100) d = √424 d ≈ 20.59

Отже, довжина однієї сторони паралелограма ≈ 20.59.

Тепер обчислимо довжину діагоналі паралелограма, яка сполучає протилежні вершини. Координати цих вершин: (10, 6) та (-8, -4).

Використовуючи формулу відстані:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

d = √((10 - (-8))^2 + (6 - (-4))^2) d = √((18)^2 + (10)^2) d = √(324 + 100) d = √424 d ≈ 20.59

Отже, довжина діагоналі паралелограма також ≈ 20.59.

Таким чином, рівняння двох інших сторін паралелограма та його діагоналей можна представити наступним чином:

1) Сторона паралелограма: 5х - 3у - 28 = 0

2) Діагональ паралелограма, що сполучає протилежні вершини: х - 3у - 14 = 0

3) Діагональ паралелограма, що сполучає інші протилежні вершини: 5х + 3у - 2 = 0