Question

Геометрия В выпуклом пятиугольнике ABCDE вписана окружность, где AB=CD=3, BC=DE=10 и АЕ=14. Сумма всех диагоналей пятиугольника ABCDE равна m/n, здесь m и n взаимно простые натуральные числа. Чему равно значение суммы m+n?А 129B 247C 391D 421​

Answer 1

Выпуклый пятиугольник ABCDE вписан в окружность, AB=CD=3, BC=DE=10, АЕ=14. Сумма всех диагоналей пятиугольника m/n (несократимая дробь). Найти m+n.

Равные хорды являются боковыми сторонами равнобедренной трапеции.

(AB=CD => ◡AB=◡CD => ∠ADB=∠CBD => BC||AD)

Имеем две р/б трапеции, ABCD и BCDE.

Диагонали р/б трапеции равны, AC=BD=CE=d

AD=a, BE=b

Запишем т Птолемея для вписанного четырехугольника

(AC*BD =AB*CD +BC*AD)

ABCD: d^2 =9 +10a

BCDE: d^2 =100 +3b

EABD: ab =14d +30

(d^2-9)/10 * (d^2-100)/3 = 14d +30

d^4 -9d^2 -100d^2 +900 = 420d +900

d^3 -109d -420 =0

Ищем корни среди делителей 420 = 3*4*5*7 или раскладываем на множители.

d^3 -144d +35d -12*35 =0

d(d^2-12^2) +35(d-12) =0

(d-12)(d^2 +12d +35) =0

Корень 12. Другие корни отрицательные (-5 и -7).

d=12

a=(144-9)/10 =27/2

b=(144-100)/3 =44/3

m/n = 3d +a +b =36 +27/2 +44/3 =385/6

m+n =391

Answer 2

Давайте обозначим центр вписанной окружности как O. Также обозначим точки касания окружности со сторонами пятиугольника как M, N, P, Q, R (по порядку соответствующих сторонам AB, BC, CD, DE, EA).

Так как AM и AN - это радиусы окружности, они равны между собой и равны половине длины стороны пятиугольника: AM = AN = 1.5.

Теперь рассмотрим треугольник AOM. Он является прямоугольным треугольником, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AO^2 = AM^2 + OM^2\]

\[AO^2 = 1.5^2 + 14^2\]

\[AO^2 = 2.25 + 196\]

\[AO^2 = 198.25\]

\[AO = \sqrt{198.25} = 14.07\]

Так как OA - это радиус вписанной окружности, радиус равен 14.07.

Теперь рассмотрим треугольник OBC. Он также прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[OC^2 = OB^2 + BC^2\]

\[OC^2 = 14.07^2 + 10^2\]

\[OC^2 = 198.25 + 100\]

\[OC^2 = 298.25\]

\[OC = \sqrt{298.25} = 17.28\]

Таким образом, радиус окружности равен 17.28.

Теперь мы знаем, что длина любой диагонали выпуклого пятиугольника, соединяющей несоседние вершины, равна сумме радиусов вписанной окружности и центральной окружности.

Рассмотрим диагональ AC. Ее длина равна AO + OC:

\[AC = AO + OC = 14.07 + 17.28 = 31.35\]

Аналогично, вы можете рассчитать длины других диагоналей, например, BD, CE, DA, и ED.

Теперь, чтобы найти сумму всех диагоналей, сложим их:

\[AC + BD + CE + DA + ED = 31.35 + ... + ...\]

Теперь, чтобы упростить сумму, выразим все радиусы в виде десятичных дробей. Мы знаем, что \(OC = 17.28\), и \(AO = 14.07\).

Теперь сложим все диагонали:

\[31.35 + BD + CE + DA + ED = 31.35 + (2 \times 14.07) + (2 \times 17.28)\]

\[31.35 + 28.14 + 34.56 = 94.05\]

Таким образом, сумма всех диагоналей равна 94.05.

Теперь мы должны представить этот ответ в виде несократимой дроби \(m/n\), где \(m\) и \(n\) взаимно простые натуральные числа.

\[94.05 = \frac{9405}{100} = \frac{189}{2}\]

Таким образом, значение суммы \(m + n = 189 + 2 = 191\).

Итак, правильный ответ - C. \(191\).