Question

Із точки до площини проведено дві похилі до неї. Довжина однієї з них дорівнює 12√2 см, а довжина її проекції — 8 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 60°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих, дорівнює 7 см. Знайдіть довжину другої похилої.

Answer 1

Ответ:

Довжина похилої √249 см або √233 см

Объяснение:

Із точки до площини проведено дві похилі до неї. Довжина однієї з них дорівнює 12√2 см, а довжина її проекції — 8 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 60°, а довжина відрізка, що сполучає основи похилих, дорівнює 7 см. Знайдіть довжину другої похилої.

Дано: AB і AC - похилі, АН - перпендикуляр, ВН і НС - проекції АВ і ВК. АВ=12√2 см, ВН= 8 см, ВС=7 см, ∠ВНС=60°.

Знайти: АС

РОЗВ'ЯЗАННЯ

1) Із прямокутного трикутника АВН(∠Н=90°) за теоремою Піфагора знайдемо катет АН:

$\sf AH = \sqrt{ {AB}^{2} - {BH}^{2} } = \sqrt{ {(12 \sqrt{2}) }^{2} - {8}^{2} } = \bf \sqrt{224} (cm)$

2) Із △ВНС за теоремою косинусів:

ВС²=ВН²+НС²-2•ВН•НС•cos∠BHC

Нехай НС =х, тоді

7²=8²+х²-2•8•х•cos60°

х²-8х+15=0

За теоремою Вієта отримаємо два корені: х₁=5; х₂=3.

Отже, НС = 5 см або НС = 3 см.

Задача має два розв'язки.

3) Із △АНС(∠Н=90°) за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу АС.

$\sf AC = \sqrt{ {AH}^{2} + {HC}^{2} }$

Якщо HC=5 см, то

$\sf AC = \sqrt{224 + 25} = \bf \sqrt{249} (cm)$

Якщо НС=3 см, то

$\sf AC = \sqrt{224 + 9} = \bf \sqrt{233} (cm)$

Відповідь: √249 см або √233 см

Answer 2

Давайте позначимо дані:

AB - перша похила, довжина якої дорівнює 12√2 см. AC - проекція першої похилої, довжина якої дорівнює 8 см. BC - друга похила, яку ми шукаємо. ACB - кут між проекціями похилих, який дорівнює 60°. CD - відрізок, що сполучає основи похилих, довжина якого дорівнює 7 см.

Ми можемо розділити трикутник ABC на два прямокутні трикутники: ADC і BDC.

Спершу знайдемо довжину AD, використовуючи проекцію AC і відрізок CD в прямокутному трикутнику ADC:

AD = AC - CD = 8 см - 7 см = 1 см.

Тепер ми знаємо довжину відрізка AD.

Тепер ми можемо використовувати трикутник ADC для знаходження довжини BC. Знаючи сторону AD, сторону CD і кут ADC, ми можемо використовувати тригонометричні функції.

Знаючи величину кута ADC, яка дорівнює 60°, та сторону AD, ми можемо знайти сторону DC, використовуючи косинус:

cos(60°) = AD / DC, 0.5 = 1 см / DC, DC = 2 см.

Тепер ми можемо використовувати трикутник BDC для знаходження довжини BC, використовуючи синус кута BDC (60°) та сторону DC:

sin(60°) = BC / DC, √3 / 2 = BC / 2 см.

Зараз можна знайти довжину BC:

BC = (√3 / 2) * 2 см = √3 см.

Отже, довжина другої похилої (BC) дорівнює √3 см.