Question

Дам 20 баллов говорят, что отрезок AB виден из точки F под углом φ, если угол AFB=φ. рассмотрим окружность Ω с диаметом AB. Докажите, что из любой точки окружности Ω, отличной от A и B, отрезок АВ виден под углом 90° Сформулируйте и докажите обратное утверждение

Answer 1

Утверждение: Если из любой точки окружности Ω, отличной от точек a и b, отрезок AB виден под углом 90°, то отрезок AB является диаметром окружности Ω.

Доказательство:

1. Предположим, что из любой точки окружности Ω, отличной от точек a и b, отрезок AB виден под углом 90°.

2. Пусть O будет центром окружности Ω.

3. Рассмотрим треугольник AOB, где A и B - точки окружности, O - центр окружности.

4. Поскольку из любой точки окружности, отличной от точек a и b, отрезок AB виден под углом 90°, то угол АОВ равен 90°.

5. Таким образом, треугольник AOB прямоугольный.

6. Согласно свойствам прямоугольного треугольника, диагональ, соединяющая вершины прямого угла, является диаметром описанной окружности.

7. Значит, отрезок AB является диаметром окружности Ω.

Таким образом, мы доказали, что если из любой точки окружности Ω, отличной от точек a и b, отрезок AB виден под углом 90°, то отрезок AB является диаметром окружности Ω.

Обратное утверждение: Если отрезок AB является диаметром окружности Ω, то из любой точки окружности Ω, отличной от точек a и b, отрезок AB виден под углом 90°.