Question

1)Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза больше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Чему равен этот катет? 2)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6 см, а один из острых углов равен 60 градусов. Найти катет, прилежащий к этому углу.

Answer 1

Ответ:

Примем меньший катет за x, а гипотенузу за y, меньший острый угол за 2α, а больший острый угол за α.

α + 2α = 90° => α = 30°.

Катет, лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы и против меньшей стороны лежит меньший угол. Тогда напротив катета x лежит угол в 30°. 1/2x = y

Объяснение:

y - x = 18

y - 1/2y = 18

0,5y = 18

y = 36 - это гипотенуза, тогда катет будет равен

36 - х = 18

x=18

Answer 2

Давайте решим оба этих задания.

1) Пусть \(x\) - это длина меньшего катета, а \(2x\) - это длина большего катета, так как один из острых углов в два раза больше другого.

Также у нас есть информация о разности гипотенузы и меньшего катета, которая равна 18 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\[ \text{Гипотенуза}^2 = \text{Катет}^2 + \text{Катет}^2 \]

В нашем случае это будет:

\[ (2x)^2 = x^2 + (x + 18)^2 \]

Раскроем скобки и решим уравнение:

\[ 4x^2 = x^2 + x^2 + 36x + 324 \] \[ 4x^2 = 2x^2 + 36x + 324 \] \[ 2x^2 - 36x - 324 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 18x - 162 = 0 \]

Факторизуем или воспользуемся формулой квадратного уравнения:

\[ (x - 27)(x + 9) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \(x = 27\) или \(x = -9\). Так как длина стороны не может быть отрицательной, то \(x = 27\) см - это длина меньшего катета.

2) По условию у нас есть прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 6 см, а один из острых углов равен 60 градусов.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике угол, противолежащий катету, равный половине гипотенузы, составляет 30 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов). Таким образом, у нас есть угол в 60 градусов и угол в 30 градусов.

Катет, прилежащий к углу в 60 градусов, будет напротив угла в 30 градусов.

Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:

\[ \text{Тангенс угла} = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Прилежащий катет}} \]

Тангенс угла в 30 градусов равен \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Поскольку у нас известна гипотенуза (6 см), мы можем найти прилежащий катет:

\[ \text{Прилежащий катет} = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\tan(30^\circ)} = \frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \]

Таким образом, прилежащий катет, примыкающий к углу в 60 градусов, равен \(6\sqrt{3}\) см.