Question

Даны точки C (0;-1;-2), B (4;0;1) D(2;3;1) найдите угол мужду векторами DC и DB​

Answer 1

Координаты вектора AB, образованного точками A и B равно разницы соответствующих координат точки B к точкам A.

Найдем координаты вектора DC

DC(2 - 0; 3 - (-1); 1 - (-2)) = DC(2; 4; 3)

Найдем координаты вектора DB

DB(2 - 4; 3 - 0; 1 - 1) = DB(-2; 3; 0)

Воспользуемся формулой скадярного произведения

Вектор(DC) * вектор(DB) = |вектор(DC)| * |вектор(DB)| * cos a.

В данном уравнении модуль вектора - его длина. Cos a - угол между векторами

Cos a = (вектор(DC) * вектор(DB) / (|вектор(DC)| * |вектор(DB)|)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Обозначим вектор DC буквой x; вектор DB буквой y, тогда

x * y = -2 * 2 + 3 * 4 + 3 * 0 = -4 + 12 = 8

Найдем длину x

|x| = корень(2^2 + 4^2 + 3^2) = корень(4 + 16 + 9) = корень(29)

Найдем длину y

|y| = корень((-2)^2 + 3^2 + 0^2) = корень(4 + 9 + 0) = корень(13)

Подставим в уравнение

Cos a = 8 / (корень(13) * корень(29)) = 8 / корень(377)

a = arccos(8 / корень(377))

Ответ: a = arccos(8 / корень(377))

Answer 2

Для нахождения угла между векторами \( \vec{DC} \) и \( \vec{DB} \), можно воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DB}}{\|\vec{DC}\| \cdot \|\vec{DB}\|} \]

Где: - \( \vec{DC} \cdot \vec{DB} \) - скалярное произведение векторов \( \vec{DC} \) и \( \vec{DB} \), - \( \|\vec{DC}\| \) и \( \|\vec{DB}\| \) - длины векторов \( \vec{DC} \) и \( \vec{DB} \) соответственно.

Давайте сначала найдем векторы \( \vec{DC} \) и \( \vec{DB} \):

\[ \vec{DC} = \vec{C} - \vec{D} \] \[ \vec{DB} = \vec{B} - \vec{D} \]

Теперь вычислим скалярное произведение и длины векторов:

\[ \vec{DC} \cdot \vec{DB} = (C_x - D_x)(B_x - D_x) + (C_y - D_y)(B_y - D_y) + (C_z - D_z)(B_z - D_z) \]

\[ \|\vec{DC}\| = \sqrt{(C_x - D_x)^2 + (C_y - D_y)^2 + (C_z - D_z)^2} \]

\[ \|\vec{DB}\| = \sqrt{(B_x - D_x)^2 + (B_y - D_y)^2 + (B_z - D_z)^2} \]

Подставим значения точек \( C (0, -1, -2) \), \( B (4, 0, 1) \), \( D (2, 3, 1) \) в формулы и найдем численные значения.

После этого, используем формулу для косинуса угла и найдем угол \( \theta \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DB}}{\|\vec{DC}\| \cdot \|\vec{DB}\|} \]

Наконец, угол \( \theta \) можно найти с помощью обратного косинуса (арккосинуса):

\[ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{DC} \cdot \vec{DB}}{\|\vec{DC}\| \cdot \|\vec{DB}\|}\right) \]

Подставив численные значения, вы сможете найти угол между векторами \( \vec{DC} \) и \( \vec{DB} \).