Question

Помогите, пожалуйста!!! хорда основания конуса стягивает дугу, градусная мера которой равна 60 градусов. отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол 60 градусов. высота конуса равна √3. найдите объём конуса.​

Answer 1

Ответ:

Объем конуса равен $\displaystyle \frac{4\sqrt{3} }{9}\pi$ ед.³

Объяснение:

Найти объем конуса.

Дано: Конус;

АВ - хорда основания;

◡АВ = 60°;

С - середина хорды АВ;

∠КСО = 60°;

КО = √3 - высота.

Найти: V конуса.

Решение:

Объем конуса найдем по формуле:

$\displaystyle \boxed { V=\frac{1}{3}\pi R^2h }$ , где R - радиус основания; h - высота конуса.

h = KO = √3 (условие)

Необходимо найти радиус.

1. Рассмотрим ΔСКО - прямоугольный.

∠КСО = 60°

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠СКО = 90° - ∠КСО = 90° - 60° = 30°

• Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

⇒ КС = 2 СО

Пусть СО = х, тогда КС = 2х

По теореме Пифагора:

КС² = СО² + КО²

4х² = х² + 3

3х² = 3

х = 1

Получили СО = 1.

2. Рассмотрим ΔАОВ.

АО = ОВ = R

⇒ ΔАОВ - равнобедренный.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠АОВ = ◡АВ = 60°

АС = СВ (условие)

⇒ ОС - медиана.

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

⇒ ОС - высота, биссектриса.

3. Рассмотрим ΔСОВ - прямоугольный.

∠СОВ = 60° : 2 = 30° (СО - биссектриса)

⇒ ОВ = 2 СВ

Пусть СВ = а, тогда ОВ = 2а

По теореме Пифагора:

ОВ² = ОС² + СВ²

4а² = 1 + а²

3а² = 1

$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{3} }$

Получили

$\displaystyle OB = 2a = \frac{2}{\sqrt{3} }=R$

4. Теперь можем найти объем конуса:

$\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi \cdot{\frac{4}{3} \cdot\sqrt{3} } =\frac{4\sqrt{3} }{9}\pi$

Объем конуса равен $\displaystyle \frac{4\sqrt{3} }{9}\pi$ ед.³

Answer 2

Для решения данной задачи нам нужно использовать свойство конуса, которое гласит: "Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту".

В данной задаче у нас есть дуга, градусная мера которой равна 60 градусов. Так как хорда основания конуса стягивает эту дугу, то угол между хордой и плоскостью основания также равен 60 градусов.

Пусть хорда основания конуса равна l. Тогда отрезок, соединяющий вершину конуса с серединой данной хорды, также равен l.

Поскольку угол между этим отрезком и плоскостью основания также равен 60 градусов, то по теореме косинусов для треугольника, образованного вершиной конуса, серединой хорды и центром основания, мы можем найти длину этого отрезка.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком, соединяющим вершину конуса с серединой хорды, половиной хорды и высотой конуса. Угол между этим отрезком и половиной хорды равен 30 градусов (так как угол между отрезком и плоскостью основания равен 60 градусов, а у прямоугольного треугольника сумма углов равна 180 градусов).

Теперь мы знаем две стороны и угол между ними в этом треугольнике. Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса, чтобы найти значение этого угла.

Тангенс угла равен отношению противолежащего катета (высоты конуса) к прилежащему катету (половине хорды). Мы знаем, что высота конуса равна √3, а половина хорды равна l/2. Таким образом, можно написать следующее уравнение:

tg(30°) = √3 / (l/2)

Решая это уравнение относительно l, мы получим:

l = (2 * √3) / tg(30°)

Теперь, когда мы знаем длину хорды основания конуса, мы можем найти площадь его основания. Площадь круга можно выразить через радиус круга: S = π * r^2. Зная, что хорда является диаметром круга, можем написать уравнение:

l = 2 * r

Тогда:

r = l/2

Теперь мы можем найти площадь основания конуса:

S = π * (l/2)^2

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота конуса, мы можем найти его объем:

V = (1/3) * S * h

Подставляя значения, получим:

V = (1/3) * π * (l/2)^2 * √3

Это формула, позволяющая найти объем данного конуса. Осталось лишь подставить в нее известные значения и произвести вычисления.