Question

1. В прямоугольном треугольнике АВС, у которого ХС =90°, ХА = 30°, проведена высота СО. Найти отрезок АР, если ВО =8 см.

Answer 1

Ответ:

24 см. В условии найти АО, наверное

Answer 2

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол XС равен 90 градусов, угол XА равен 30 градусов, и проведена высота СО. Возможно, имелась в виду точка O - основание высоты CO. Пусть BO = 8 см.

Сначала найдем отрезок AO. Так как угол XА равен 30 градусов, угол BAC (или XAB) также равен 30 градусам. Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник ABO с углом 30 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины отрезка AO. В прямоугольном треугольнике:

\[\tan(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.\]

В данном случае у нас есть угол 30 градусов и противолежащий катет - это BO, а прилежащий - это AO.

\[\tan(30^\circ) = \frac{BO}{AO}.\]

\[AO = \frac{BO}{\tan(30^\circ)}.\]

\[\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

\[AO = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}.\]

Чтобы избавиться от знаменателя с корнем в знаменателе, умножим и делим на \(\sqrt{3}\):

\[AO = \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3}.\]

Таким образом, AO равно \(8 \sqrt{3}\) см.

Теперь мы знаем длину отрезка AO, и можем использовать его для нахождения длины отрезка AR. Так как CO - это высота, она делит треугольник ABC на два подобных треугольника ACO и BCO.

Мы можем написать пропорцию для этих треугольников:

\[\frac{AO}{AC} = \frac{BO}{BC}.\]

Теперь подставим известные значения:

\[\frac{8 \sqrt{3}}{AC} = \frac{8}{BC}.\]

Теперь найдем AC. Так как угол XА равен 30 градусам, угол ACB (или XAC) равен 60 градусам. Таким образом, у нас есть равносторонний треугольник ACH, где HC - это высота. Также AC - это сторона треугольника.

Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, AC равно HC.

Теперь подставим это значение обратно в пропорцию:

\[\frac{8 \sqrt{3}}{HC} = \frac{8}{BC}.\]

Теперь решим относительно BC:

\[BC = \frac{8 \cdot HC}{8 \sqrt{3}}.\]

\[BC = \frac{HC}{\sqrt{3}}.\]

Теперь мы знаем, что BC равно половине отрезка СО (так как HC равно половине CO, так как CO - это высота). Таким образом, \(BC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\) см.

Теперь, когда у нас есть значение BC, мы можем найти отрезок AR:

\[AR = AO - OR.\]

Но мы также можем заметить, что треугольник ACR является прямоугольным треугольником, и AR - это катет этого треугольника. Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[AR = \sqrt{AC^2 - CR^2}.\]

\[AR = \sqrt{(8 \sqrt{3})^2 - 4^2}.\]

\[AR = \sqrt{192 - 16}.\]

\[AR = \sqrt{176}.\]

\[AR = 4 \sqrt{11}.\]

Таким образом, отрезок AR равен \(4 \sqrt{11}\) см.