Question

Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен 60°, площадь основания цилиндра равна 4√27. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Answer 1

Ответ:

S боковой поверхности = 48

Объяснение:

Answer 2

Пусть высота цилиндра равна h. Так как угол между образующей и диагональю осевого сечения равен 60°, то получаем прямоугольный треугольник с одним из углов, равным 60°.

Так как мы знаем площадь основания цилиндра, можем найти радиус основания. Формула для площади основания цилиндра:

S = πr^2, где S - площадь основания, r - радиус.

Подставляя данное значение площади основания цилиндра, имеем:

4√27 = πr^2

Так как S = 4√27, то r^2 = (4√27)/π.

Заметим, что в прямоугольном треугольнике, у которого один из углов равен 60°, отношение стороны, противолежащей этому углу, к гипотенузе равно √3/2.

Применяя это знание к нашему треугольнику, получаем:

r/h = √3/2

Теперь можем выразить радиус через высоту:

r = (√3/2)*h

Подставим это выражение для радиуса в равенство, полученное из площади основания:

(√3/2)*h = √(4√27/π)

Упростим равенство:

(√3/2)*h = √(4√27/π) (√3/2)*h = √((4√27)/π) (√3/2)*h = (√(4*√9*√3)/π) (√3/2)*h = (√(4*3√3)/π)

Теперь сокращаем:

(√3/2)*h = (√12√3/π) (√3/2)*h = (√12)*√3/π

Упростим равенство:

(√3/2)*h = 2√3/π h = 2√3/π * (2/√3) h = 4/π

Теперь, когда мы знаем высоту цилиндра, можем найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Формула для площади боковой поверхности цилиндра:

Sбок = 2πrh, где Sбок - площадь боковой поверхности, r - радиус, h - высота.

Подставляя значения ранее найденные, получаем:

Sбок = 2π * r * h Sбок = 2π * (√3/2)*h * h Sбок = 2π * (√3/2)*(4/π) * (4/π) Sбок = 2 * √3 * (4/π) * (4/π) Sбок = 32√3/π^2

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна 32√3/π^2.