Question

Помогите, пожалуйста, 40 баллов! Даны координаты вершин треугольника ABC А (-4;10) В (8;1) С (12;23) найти:1) уравнение высоты CD и ее длину2) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABC

А(-4;10), В(8;1) , С(12;23) . Найти:  1) уравнение высоты CD и ее длину ;

2) уравнение медианы AE и координаты точки К , точки пересечения этой медианы с высотой CD.

Объяснение:

1) Прямые содержащие отрезки АВ и СD будут перпендикулярны , те $\displaystyle k_A_B*k_C_D=-1$

Уравнение прямой АВ    :  $\displaystyle \frac{x+4}{8+4} =\frac{y-10}{1-10}$  или 12(у-10)=-9(х+4) ,

4(у-10)=-3(х+4) , у-10= -0,75(х+4) ,  у= -0,75х+7.

$\displaystyle k_C_D=-1 :k_A_B=-1:(-0,75)=\frac{4}{3}$

Для уравнение прямой СD ,  у=4/3*х+b ,  найдем в используя координаты  С(12;23).

$\displaystyle 23= \frac{4}{3} *12+b$  ⇒ b=7.  Тогда уравнение высоты CD будет у=4/3*х+7.

CD=√( (12-х₂)²+(23-у₂)² ), где  C(12;23), D(х₂;у₂ )

Ищем координаты D

$\displaystyle \left \{ {{y=-0,75x+7} \atop {y=\frac{4}{3} x+7}} \right.$⇒    $\displaystyle -0,75x+7} =\frac{4}{3} x+7}} \right.$  ⇒ x=0,y=7 . D(0;7)

СD=√( (12-0)²+(23-7)² )=√(144+256)=20.

2)Если АЕ-медиана , то Е середина ВС .

Е( (8+12):2 ; (1+23):2 ) или Е(10;12)

Уравнение прямой АЕ    :  $\displaystyle \frac{x+4}{10+4} =\frac{y-10}{12-10}$  или 14(у-10)=2(х+4) ,

у-10=1/7*(х+4) , у-10= 1/7*х+4/7 ,  у=1/7*х+74/7.

Ищем координаты точки К

$\displaystyle \left \{ {{y= \frac{1}{7} x+\frac{74}{7} } \atop {y=\frac{4}{3} x+7}} \right.$ ,  $\displaystyle \frac{1}{7} x+\frac{74}{7} } =\frac{4}{3} x+7}}$  |*21  , 3x+74*3=28x+21*7 ,

25x=75 , x=3 . Тогда у= 1/7*(3+74)==11 ⇒ К(3;11).

Answer 2

Давайте начнем с поиска уравнения высоты CD и её длины.

1) Уравнение высоты CD: Высота перпендикулярна основанию треугольника, поэтому наклонный коэффициент высоты CD будет равен отрицательному обратному наклонному коэффициенту стороны AB. Найдем наклонную сторону AB:

Наклон (m) AB = \((y_B - y_A) / (x_B - x_A)\)

Для точек A(-4;10) и B(8;1):

\(m_{AB} = (1 - 10) / (8 - (-4)) = -9 / 12 = -3 / 4\)

Теперь, уравнение высоты CD:

Уравнение прямой в форме \(y - y_1 = m(x - x_1)\), где (x_1, y_1) - точка на прямой, \(m\) - наклон.

Возьмем точку C(12;23) и подставим значения:

\(y - 23 = (-3 / 4)(x - 12)\)

Уравнение высоты CD: \(4y - 92 = -3x + 36\)

2) Длина высоты CD: Длина высоты можно найти с использованием формулы для расстояния между точкой и прямой. Формула:

\(d = |Ax_1 + By_1 + C| / \sqrt{A^2 + B^2}\)

Где уравнение прямой задано в виде \(Ax + By + C = 0\), а (x_1, y_1) - точка.

Уравнение высоты CD \(4y - 92 + 3x - 36 = 0\).

Теперь подставим координаты точки C(12;23) в формулу:

\(d = |4(12) - 92 + 3(23) - 36| / \sqrt{4^2 + 3^2}\)

\(d = |-48 - 92 + 69 - 36| / 5\)

\(d = 185 / 5 = 37\)

Таким образом, длина высоты CD равна 37.

3) Уравнение медианы AE: Медиана проходит через вершину A и середину противоположной стороны BC. Найдем координаты середины BC:

\(x_{mid} = (x_B + x_C) / 2\)

\(y_{mid} = (y_B + y_C) / 2\)

Для точек B(8;1) и C(12;23):

\(x_{mid} = (8 + 12) / 2 = 10\)

\(y_{mid} = (1 + 23) / 2 = 12\)

Таким образом, середина BC имеет координаты (10, 12). Теперь мы можем использовать уравнение прямой для медианы:

Уравнение медианы AE проходит через A(-4;10) и M(10, 12). Найдем наклон \(m_{AE}\):

\(m_{AE} = (y_{mid} - y_A) / (x_{mid} - x_A)\)

\(m_{AE} = (12 - 10) / (10 - (-4)) = 2 / 14 = 1 / 7\)

Уравнение медианы AE:

\(y - 10 = (1 / 7)(x - (-4))\)

\(7y - 70 = x + 4\)

\(x - 7y + 74 = 0\)

4) Координаты точки K: Точка K - точка пересечения медианы AE и высоты CD. Решим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 4y - 92 + 3x - 36 = 0 \quad \text{(уравнение высоты CD)} \\ x - 7y + 74 = 0 \quad \text{(уравнение медианы AE)} \end{cases} \]

Решив эту систему, найдем координаты точки K.