Question

Трикутники OST i MNP Piвні причому сторони ОТ i MN та кути O i N відповідні. Знайти сторону МР і кут Т, якщо ST=7дм, <М=15° Чи може периметр трикутника OST бути більшим за периметр трикутника MNP

Answer 1

Для вирішення цієї задачі давайте розглянемо трикутники OST і MNP. Вони рівні за умовою, а це означає, що відповідні сторони і кути рівні.

Дано: 1. \(OT \cong MN\) (сторони ОТ і MN рівні). 2. \(O \cong N\) (кути О і N рівні). 3. \(ST = 7 \, \text{дм}\). 4. \(\angle M = 15^\circ\).

Ми хочемо знайти сторону MR та кут T.

Позначимо сторону MR як \(x\) і кут T як \(\angle T\).

З означення рівних трикутників відомо, що \(PR = OT\), а отже \(PR = MN = x\).

Тепер розглянемо сторону OT в трикутнику OST. Оскільки сторона OT рівна стороні MN, і сторона ST задана як 7 дм, то сторона OS буде \(2 \cdot OT\), оскільки ST розділяє її на дві рівні частини. Тобто \(OS = 2 \cdot OT\), і отже \(OT = \frac{1}{2} \cdot OS\).

Розглянемо тепер сторону MN в трикутнику MNP. Оскільки сторони MN і OT рівні, то і сторони MN і PR рівні. Тобто \(MN = PR = x\).

Таким чином, виразимо OT через x: \(OT = \frac{1}{2} \cdot OS = \frac{1}{2} \cdot (OT + x)\).

Розв'яжемо це рівняння для x:

\[ \begin{align*} \frac{1}{2} \cdot (OT + x) &= \frac{1}{2} \cdot OS \\ OT + x &= OS \\ x &= OS - OT. \end{align*} \]

Тепер підставимо вирази для OT та OS:

\[ \begin{align*} x &= OS - \frac{1}{2} \cdot OS \\ x &= \frac{1}{2} \cdot OS. \end{align*} \]

Таким чином, сторона MR дорівнює половині сторони OS.

Тепер знайдемо кут T. Оскільки \(\angle O\) і \(\angle N\) рівні, то \(\angle O = \angle N = \frac{1}{2} \cdot \angle OST\), де \(\angle OST\) - це кут T.

Отже, \(\angle T = \angle OST - \angle O = 2 \cdot \angle O - \angle O = \angle O\).

Таким чином, кут T дорівнює куту O.

Отже, ми знайшли, що \(MR = \frac{1}{2} \cdot OS\) і \(\angle T = \angle O\).

Тепер порівняємо периметри трикутників OST і MNP.

Периметр трикутника OST дорівнює сумі його сторін:

\[P_{\text{OST}} = OT + ST + OS.\]

Периметр трикутника MNP дорівнює сумі його сторін:

\[P_{\text{MNP}} = MN + NP + MP.\]

Ми вже знаємо, що \(MN = x\), а сторона MP дорівнює MR (за умовою).

Отже,

\[P_{\text{MNP}} = x + NP + MR.\]

Тепер порівняємо периметри:

\[P_{\text{OST}} = OT + ST + OS\]

\[P_{\text{MNP}} = x + NP + MR.\]

Ми можемо використати дані про трикутник OST, а саме те, що \(OT = \frac{1}{2} \cdot OS\), і підставити вираз для MR (\(MR = \frac{1}{2} \cdot OS\)):

\[P_{\text{OST}} = \frac{1}{2} \cdot OS + ST + OS.\]

Тепер врахуємо дані про ST (\(ST = 7 \, \text{дм}\)):

\[P_{\text{OST}} = \frac{1}{2} \cdot OS + 7 \, \text{дм} + OS.\]

Знаменник у першому доданку можна зрівняти з другим доданком, помноживши його на 2:

\[P_{\text{OST}} = OS + 14 \, \text{дм} + 2 \cdot OS.\]

Тепер скористаємося виразом для MR (\(MR = \frac{1}{2} \cdot OS\)):

\[P_{\text{OST}} = 2 \cdot MR + 14 \, \text{дм} + 2 \cdot OS.\]

Таким чином, ми отримали вираз для периметру трикутника OST, використовуючи властивості рівних трикутників.

Тепер можемо порівняти периметри:

\[P_{\text{OST}} = 2 \cdot MR + 14 \, \text{дм} + 2 \cdot OS\]

\[P_{\text{MNP}} = x + NP + MR.\]

Ми вже вивели, що \(MR = \frac{1}{2} \cdot OS\), тому можемо підставити це значення: