Question

2. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом 60° и меньшей диагональ 8см .Найдите диагонали призмы, если ее боковое ребро равно 6​

Answer 1

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся свойствами прямоугольной призмы. Прямоугольная призма представляет собой трехмерную фигуру с двумя параллельными и равными основаниями, которые являются прямоугольниками, а боковые грани - прямоугольными параллелограммами.

В данной задаче говорится, что в основании прямой призмы лежит ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 8 см. Ромб с углом 60° является равносторонним, поэтому все его стороны и углы равны. Обозначим сторону ромба через \( a \). Так как у нас острая угловая 60°, то каждый угол ромба равен 60°, и мы можем использовать свойство равностороннего треугольника для нахождения стороны:

\[ a = \frac{{\text{{меньшая диагональ}}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{8}{{\sqrt{3}}} \]

Теперь, у нас есть размер стороны основания ромба. Боковое ребро прямой призмы равно 6 см, что является высотой ромба. Теперь мы можем использовать размер стороны и высоту ромба для нахождения его большей диагонали.

Площадь ромба можно найти двумя способами: \( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) - диагонали ромба, или \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \), где \( a \) - сторона ромба, а \( h \) - его высота (большая диагональ).

Подставим известные значения:

\[ \frac{8 \cdot d_2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{{\sqrt{3}}} \cdot 6 \]

Решим уравнение для нахождения большей диагонали \( d_2 \):

\[ 4 \cdot d_2 = \frac{1}{{\sqrt{3}}} \cdot 6 \cdot 6 \] \[ d_2 = \frac{36}{{4 \cdot \sqrt{3}}} \] \[ d_2 = \frac{9}{{\sqrt{3}}} \]

Таким образом, большая диагональ ромба (и основания прямой призмы) равна \( \frac{9}{{\sqrt{3}}} \), а меньшая диагональ ромба (и боковая сторона прямой призмы) равна \( \frac{8}{{\sqrt{3}}} \).