Question

Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 13 см, 15 см. 3 вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр, довжина якого 6 см. Знайдіть відстань від кінця перпендикуляра до більшої сторони трикутника.

Answer 1

В сантиметрах

AB=4, BC=13, AC=15

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

AC - большая сторона => ∠ABC - больший угол

По условию из вершины B к плоскости треугольника проведен перпендикуляр OB.

OB⊥(ABC), OB=6

Требуется найти расстояние от точки O до прямой AC.

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра.

Проведем перпендикуляр OK к прямой AC.

OK⊥AC

OK - наклонная, B - проекция точки O, BK - проекция наклонной OK

По теореме о трех перпендикулярах если прямая (AC) в плоскости перпендикулярна наклонной (OK), то она перпендикулярна и ее проекции (BK).

OB⊥(ABC), OK⊥AC => BK⊥AC

BK - высота в треугольнике ABC. Найдем её.

Для этого найдем площадь ABC по формуле Герона.

p=(AB+BC+AC)/2 =(4+13+15)/2=16

S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-AC)) =√(16*12*3*1)=4*2*3 =24

S=1/2 AC*BK => 24=1/2 15*BK => BK=48/15 =16/5

Если прямая (OB) перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

OB⊥(ABC) => OB⊥BK

△OBK - прямоугольный. Найдем OK по теореме Пифагора.

OK =√(OB^2+BK^2) =√(36*25+256)/5 =34/5 (см)

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі скористаємося теоремою Піфагора, оскільки маємо прямокутний трикутник (за умовою задачі, перпендикуляр проведено до більшої сторони трикутника).

За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. У нашому випадку, гіпотенуза (перпендикуляр) дорівнює 6 см, а катети (відстань від кінця перпендикуляра до більшої сторони трикутника) дорівнюють х та 4 см (більша сторона трикутника).

Тоді за теоремою Піфагора маємо: 6^2 = x^2 + 4^2 36 = x^2 + 16 x^2 = 36 - 16 x^2 = 20 x = √20 x ≈ 4.47 см

Отже, відстань від кінця перпендикуляра до більшої сторони трикутника дорівнює близько 4.47 см.