Question

ПРОШУ НЕ БРАТИ ЧУЖУ ВІДПОВІДЬ! Сторони трикутника дорівнюють 14 см. 16 см і 6 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр. Відстань від верхнього кінця перпендикуляра до більшої сторони дорівнює 5корінь3 см. Знайдіть довжину цього перпендикуляра

Answer 1

Ответ:

Довжина перпендикуляра дорівнює 4√3 (см)

Объяснение:

Сторони трикутника дорівнюють 14 см. 16 см і 6 см. Із вершини більшого кута трикутника до його площини проведено перпендикуляр. Відстань від верхнього кінця перпендикуляра до більшої сторони дорівнює 5корінь3 см. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.

Нехай АВС - даний трикутник. АВ=14 см, ВС= 16 см, АС= 6 см. Так як проти більшої сторони трикутника лежить більший кут, то AD⟂(ABC), тому AD перпендикулярна до кожної прямої, що належить площині ABC.

Відстань від точки D до сторони BC трикутника - перпендикуляр, опущений з точки D на пряму BC: DM⟂BC.

Так як AD⟂(ABC), то DM - похила, а відрізок AM - проекція похилої на площину ABC.

DM⟂BC, за теоремою "про три перпендикуляри ": AM⟂BC.

⇒ AM - висота △ABC, проведена до сторони BC.

Розглянемо △ABC.

1) Знайдемо його площу за формулою Герона.

$\bf S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}$

де

$\sf p = \dfrac{AB + BC + AC}{2} = \dfrac{14 + 16 + 6}{2} = \bf 18$ (см) - півпериметр △ABC.

$\sf S = \sqrt{18(18 - 14)(18 - 16)(18 - 6)} = \sqrt{9 \times 2 \times 4 \times 2 \times 4 \times 3} = \bf 24 \sqrt{3}$ (см²)

2) Площу трикутника ABC можна також знайти за формулою:

$\bf S = \frac{1}{2} ah_a$

де а - сторона, $\bf h_a$ - висота, проведена до сторони а.

$\sf S= \dfrac{1}{2} \times BC \times AM$

Висота АМ буде дорівнювати:

$\sf AM = \dfrac{2S}{BC} = \dfrac{2 \times 24 \sqrt{3} }{16} = \bf 3 \sqrt{3}$ (см)

3) За теоремою Піфагора знайдемо катет АD з прямокутного трикутника ADM(∠DAM=90°)

AD²=DM²-AM²=(5√3)²-(3√3)²=75-27=48

AD= 4√3 (см)

Відповідь: 4√3 см

Answer 2

Довжина перпендикуляра може бути знайдена за допомогою формули для обчислення площі трикутника.

Перш за все, давайте позначимо сторони трикутника як a = 14 см, b = 16 см і c = 6 см.

За формулою площі трикутника S, використовуючи половину добутку двох сторін і синус великого кута (A), ми маємо:

S = (1/2) * a * b * sin(A)

Знайдемо площу трикутника. Знаючи сторони трикутника, ми можемо обчислити його площу:

S = (1/2) * 14 см * 16 см * sin(A) = 112 см² * sin(A)

Тепер ми повинні знайти sin(A), використовуючи інші відомі дані. Знайдемо синус A за допомогою теореми синусів:

sin(A) = (a / c) * sin(B)

За умовою, відстань від верхнього кінця перпендикуляра до більшої сторони дорівнює 5√3 см, тобто, давайте позначимо цю відстань як h = 5√3 см.

За допомогою теореми Піфагора, ми також можемо знайти другий кут B:

b² = c² + h² 16² = 6² + (5√3)² 256 = 36 + 75 256 = 111

Тепер, знаючи другий кут B, ми можемо обчислити sin(B):

sin(B) = √(1 - sin²(A)) sin(B) = √(1 - ((a / c) * sin(B))²)

Застосуємо ці дані до формули площі:

S = 112 см² * sin(A) S = 112 см² * ((a / c) * sin(B))

Тепер ми маємо два вирази для площі трикутника, і вони повинні бути рівними один одному:

112 см² * sin(A) = 112 см² * ((a / c) * sin(B))

Виділимо sin(A) і sin(B):

sin(A) = (a / c) * sin(B)

Підставимо відомі значення:

sin(A) = (14 см / 6 см) * sin(B) sin(A) = 7/3 * sin(B)

Тепер знайдемо вираз для sin(B) з