Question

В равностороннем треугольнике ABC медиана AD равна 3√2, а AC образует с основанием угол 45⁰. Найдите площадь треугольника. Срочно!!!!!

Answer 1

∆ABC - равносторонний

BK- медиана

BK= 3✓2 см

S(ABC) - ?

Решение:

За свойством равностороннего треугольника BK является высотой, медианой и биссектрисой ∆ABC

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB, где <AKB =90:

За теоремой Пифагора:

AB^2 = BK^2+AK^2

Пусть, AK=x , тогда AB=2x

Получаем уравнение:

4х^2= (3✓2)^2 + x^2

3x^2= 18

x= ✓6

AK= ✓6

AB = 2✓6

S= (AB^2 * ✓3)/4

S = 24✓3/4

S= 6✓3

Ответ: S = 6✓3

Answer 2

Для решения задачи найдем высоту треугольника, а затем используем формулу для площади треугольника.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, угол при вершине A равен 60 градусам (180 градусов, деленных на 3). Также известно, что угол BAC равен 45 градусам. Таким образом, угол ABC равен 180 - 60 - 45 = 75 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. У нас есть прямоугольный треугольник с углом 45 градусов (угол BAC) и гипотенузой AC. Поскольку AD - медиана, она делит сторону BC пополам, и CD = BC / 2.

Мы знаем, что tan(45 градусов) = CD / AD. Подставим известные значения:

\[ \tan(45^\circ) = \frac{BC/2}{3\sqrt{2}} \]

\[ 1 = \frac{BC}{2 \cdot 3\sqrt{2}} \]

\[ BC = 6\sqrt{2} \]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника ABC. Давайте найдем высоту треугольника. Рассмотрим треугольник ABE, где E - середина стороны BC. Этот треугольник также прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ AE^2 + BE^2 = AB^2 \]

\[ \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + AD^2 = AB^2 \]

\[ \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 + (3\sqrt{2})^2 = AB^2 \]

\[ 9 + 18 = AB^2 \]

\[ AB = 3\sqrt{3} \]

Теперь, когда у нас есть длины всех сторон треугольника (AB, BC, AC), мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади:

\[ S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника, вычисляемый как \( p = \frac{AB + BC + AC}{2} \).

Подставим значения:

\[ p = \frac{3\sqrt{3} + 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} \]

\[ p = \frac{3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}}{2} \]

Теперь вычислим площадь:

\[ S = \sqrt{\frac{3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{3}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}}{2} - 6\sqrt{2}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2}\right)} \]

\[ S = \sqrt{\frac{3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}}{2} \cdot \left(\frac{3\sqrt{3} - 9\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{3\sqrt{3} + 6\sqrt{2}}{2}\right)} \]

\[ S = \sqrt{\frac{(3\sqrt{3} + 9\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{3} - 9\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{3} + 6\sqrt{2})}{4}} \]

\[ S = \sqrt{\frac{(27 - 162) \cdot (27 + 9) \cdot (27 + 18)}{4}} \]

\[ S = \sqrt{\frac{(-135) \cdot (36) \cdot (45)}{4}} \]

\[ S = \sqrt{\frac{-72900}{4}} \]

\[ S = \sqrt{-18225} \]

\[ S = 45 \]

Таким образом, площадь равностороннего треугольника ABC равна 45.