Question

Висок трапецію ABCD (BC|| AD) можна вписати коло. Точка М лежить на стороні АВ, а точка N - на стороні CD, причому MN||AD. Чи можна вписати коло у чотирикутник AMND? Відповідь обґрунтуйте.​

Answer 1

Для того чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим несколько шагов:

1. Построение вписанной окружности в трапецию ABCD:

Для вписанной окружности в трапецию ABCD, длины отрезков, проведенных от вершин трапеции до точек касания окружности с ее сторонами, должны быть равны. Обозначим точки касания как E, F, G и H на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно.

Так как BC || AD, углы ABC и ADC являются сопряженными углами, и их дополнения к 180° равны. Таким образом, ABC + ADC = 180°.

Также, углы вписанного четырехугольника EFGH равны половине соответствующих центральных углов трапеции ABCD. Таким образом, EFGH - половина (ABC + ADC).

Поскольку углы при основаниях трапеции равны, ABC = ADC, и угол EFGH = 1/2 (ABC + ADC) = 1/2 * 180° = 90°.

Таким образом, вписанная окружность в трапецию ABCD будет иметь центр, лежащий на середине отрезка MN (поскольку MN || AD).

2. Вписанная окружность в четырехугольник AMND:

Теперь мы имеем четырехугольник AMND, в котором точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, а вписанная окружность в трапецию ABCD имеет центр на стороне MN.

Поскольку точка M лежит на стороне AB, а точка N лежит на стороне CD, и MN || AD, центр вписанной окружности в трапецию ABCD также лежит на прямой MN.

Таким образом, центр вписанной окружности в трапецию ABCD будет центром вписанной окружности в четырехугольник AMND.

Следовательно, ответ на ваш вопрос - да, можно вписать окружность в четырехугольник AMND, и центр этой окружности будет также центром вписанной окружности в трапецию ABCD.