Question

Биссектрисы внутренних углов при вершинах A и B треугольника пересекаются в точке P, а биссектрисы внешних углов при тех же вершинах пересекаются в точке Q. Докажите, что все четыре точки A, B, P, Q лежат на одной окружности. Где расположен её центр?

Answer 1

Давайте рассмотрим треугольник ABC и проведем биссектрисы внутренних и внешних углов при вершинах A и B.

1. Внутренние биссектрисы: Пусть AI и BI - биссектрисы углов CAB и CBA соответственно. Из условия задачи мы знаем, что они пересекаются в точке P.

2. Внешние биссектрисы: Пусть AE и BF - внешние биссектрисы углов CAB и CBA соответственно. Они также пересекаются в какой-то точке Q.

Теперь рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. Пусть O - ее центр. Также рассмотрим внешние углы треугольника AOC и BOC.

3. Окружность, описанная около треугольника ABC: Поскольку углы треугольника ABC соответствуют дугам на окружности, мы можем заметить следующее: - Угол CAB соответствует дуге CB на окружности. - Угол CBA соответствует дуге CA на окружности. - Угол AOC - это внешний угол треугольника в точке A, и он равен сумме углов CAB и CBA. Таким образом, дуга AB на окружности соответствует углу AOC. - Аналогично, угол BOC - это внешний угол треугольника в точке B, и он равен сумме углов CBA и CAB. Таким образом, дуга BA на окружности соответствует углу BOC.

4. Точки P и Q на окружности: Из условия задачи мы знаем, что внутренние биссектрисы пересекаются в точке P, а внешние биссектрисы пересекаются в точке Q. Таким образом, точки P и Q также лежат на описанной окружности.

Таким образом, все четыре точки A, B, P, Q лежат на одной окружности, и её центр совпадает с центром описанной окружности треугольника ABC.