Question

У трикутнику дано дві сторони а = 2, b = 4 і кут α, який протилежний до однієї із сторін, становить 60°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.

Answer 1

Давайте розв'яжемо це завдання за допомогою законів трикутників. Вам відомі дві сторони \(a = 2\) та \(b = 4\), і відомо, що кут \(\alpha\), протилежний до сторони \(a\), дорівнює \(60^\circ\).

1. Знайдемо третю сторону \(c\), використовуючи теорему косинусів:

З теореми косинусів маємо: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)\]

Підставимо відомі значення: \[c^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)\]

Розрахуємо: \[c^2 = 4 + 16 - 16 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 16 - 8 = 12\]

Звідси отримуємо: \[c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

2. Знайдемо інші два кути \(β\) і \(γ\), використовуючи теорему синусів:

З теореми синусів маємо: \[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Підставимо відомі значення: \[\frac{2}{\sin(60^\circ)} = \frac{4}{\sin(\beta)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(\gamma)}\]

Розрахуємо \(\sin(60^\circ)\): \[\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Підставимо у вираз: \[\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sin(\beta)} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin(\gamma)}\]

Отримаємо: \[\sin(\beta) = \frac{4}{\sqrt{3}}, \quad \sin(\gamma) = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1\]

Звідси отримуємо: \[\beta = \arcsin\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right), \quad \gamma = \arcsin(1)\]

Підставляючи числові значення, отримаємо: \[\beta \approx 72.54^\circ, \quad \gamma = 90^\circ\]

Отже, інші два кути трикутника \(\beta\) і \(\gamma\) становлять приблизно \(72.54^\circ\) і \(90^\circ\), відповідно. Третя сторона \(c\) дорівнює \(2\sqrt{3}\).