Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра: AB = 3, AD = 5, AA1 = 8. На ребре DD1 выбрана точка Е так, что DE = 3. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью АЕС1. В ответ укажите найденное значение в квадрате. ​

Answer 1

Для решения задачи найдем координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 и E. Затем построим векторы, соединяющие соответствующие точки, найдем векторное произведение этих векторов, и, наконец, вычислим площадь параллелепипеда, образованного этим векторным произведением.

1. Координаты точек: - A(0, 0, 0) - B(3, 0, 0) - C(3, 5, 0) - D(0, 5, 0) - A1(0, 0, 8) - B1(3, 0, 8) - C1(3, 5, 8) - D1(0, 5, 8) - E(0, 5, 3)

2. Векторы: - \(\vec{AB} = B - A = (3, 0, 0)\) - \(\vec{AD} = D - A = (0, 5, 0)\) - \(\vec{AA1} = A1 - A = (0, 0, 8)\) - \(\vec{DD1} = D1 - D = (0, 0, 8)\) - \(\vec{DE} = E - D = (0, 0, 3)\)

3. Векторное произведение: \(\vec{h} = \vec{DD1} \times \vec{DE}\)

\(\vec{h} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (-24, 0, 0)\)

4. Площадь сечения \(S_{\text{плоскости}} = |\vec{h}| = 24\)

5. Итак, \(S_{\text{плоскости}}^2 = 24^2 = 576\)

Ответ: 576.