Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 . AB=4 AD=6 AA1=8 AK=4 LD=2 MC=2B1MТочка К, лежащая на ребре АА1, удалена от вершины А на 4, расстояние от точки L, лежащей на ребре DD1 до вершины D равно 2. Точка М лежит на отрезке В1С, длина МС вдвое больше длины В1М.Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью KLM.

Answer 1

Поместим параллелепипед ABCDA1B1C1D1 в систему координат вершиной В в начало, стороной ВА по оси Ох, ВС - по оси Оу.

Используя данные задания, находим координаты вершин четырёхугольника сечения (это параллелограмм, так секущая плоскость пересекает параллельные плоскости).

К(4; 0; 4), В2(0; 0; 6), С2(0; 6; 4) и L(4; 6; 2).

Для простоты обозначим их А, В, С и Д.

Найдем вектор по координатам точек:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {0 - 4; 0 - 0; 6 - 4} = {-4; 0; 2}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {4 - 4; 6 - 0; 2 - 4} = {0; 6; -2}

S = |AB × AC|

Найдем векторное произведение векторов:

c = AB × AC

AB × AC =  

i j k

ABx ABy ABz

ACx        ACy         ACz      

i            j             k

-4          0                2

0          6               -2    =

  = i (0·(-2) - 2·6) - j ((-4)·(-2) - 2·0) + k ((-4)·6 - 0·0) = i (0 - 12) - j (8 - 0) + k (-24 - 0) = {-12; -8; -24}.

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-12)² + (-8)² + (-24)²) = √(144 + 64 + 576) = √784 = 28.

Это и есть площадь параллелограмма:   S  = 28.

Answer 2

Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью KLM, мы сначала должны определить положения точек K, L и M.

Из условия задачи у нас уже есть некоторые данные:

• AB = 4
• AD = 6
• AA1 = 8
• AK = 4
• LD = 2
• MC = 2
• Длина МС вдвое больше длины В1М (пусть В1М = x, тогда МС = 2x)

Построим плоскость KLM, параллельную ребру BC и проходящую через точки K, L и M.

Сначала найдем координаты точки K. Поскольку AK = 4, а AA1 = 8, то точка K находится на расстоянии 4 от точки A1 вдоль ребра AA1. Таким образом, координаты точки K будут (0, 4, 0) (предположим, что точка A1 имеет координаты (0, 0, 0)).

Теперь найдем координаты точки L. Мы знаем, что расстояние от точки L до вершины D равно 2, и точка L лежит на ребре DD1. Это означает, что координаты точки L будут (0, 0, 2).

Наконец, найдем координаты точки М. Так как МС вдвое больше В1М, то МС = 2x, а В1М = x. Поскольку М лежит на отрезке В1С, то координаты точки М будут (4, 0, x). Но у нас есть еще одна информация: MC = 2. Подставим это в координаты точки М:

MC = 2x, значит 2 = 2x, тогда x = 1.

Таким образом, координаты точки М будут (4, 0, 1).

Теперь у нас есть координаты точек K(0, 4, 0), L(0, 0, 2) и M(4, 0, 1) на плоскости KLM. Чтобы найти площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью, нам нужно найти площадь треугольника KLM.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона, используя длины его сторон. Длины сторон треугольника KLM:

• KL = sqrt((0 - 0)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = sqrt(16) = 4
• KM = sqrt((4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = sqrt(17)
• LM = sqrt((4 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 2)^2) = sqrt(17)

Полупериметр треугольника:

s = (KL + KM + LM) / 2 = (4 + sqrt(17) + sqrt(17)) / 2 = (4 + 2*sqrt(17)) / 2 = 2 + sqrt(17)

Теперь можем найти площадь треугольника KLM по формуле Герона:

Площадь треугольника KLM = sqrt(s * (s - KL) * (s - KM) * (s - LM)) = sqrt((2 + sqrt(17)) * (2 + sqrt(17) - 4) * (2 + sqrt(17) - sqrt(17)) * (2 + sqrt(17) - sqrt(17))) = sqrt((2 + sqrt(17)) * (-2) * 2 * 2) = sqrt(-32)

Поскольку площадь не может быть отрицательной, сечение плоскостью KLM параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 будет пустым (не существует пересечения).

Итак, площадь сечения плоскостью KLM равна 0.