Question

Відрізок завдовжки 12см поділили на 2 частини так, що сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, стала найменшою. Обчисліть суму площ квадратів:

Answer 1

Ответ:

Для знаходження суми площ квадратів, побудованих на двох частинах відрізка, щоб вона була найменшою, треба розділити відрізок на дві частини так, щоб обидві частини були рівними. Тобто, кожна з цих частин буде дорівнювати половині довжини відрізка, тобто 6 см.

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони, тому площа кожного з квадратів буде 6 см * 6 см = 36 см².

Отже, сума площ квадратів, побудованих на цих частинах, становить 36 см² + 36 см² = 72 см².

Answer 2

Давайте позначимо довжину першої частини відрізка через "х" і довжину другої частини відрізка через "12 - х" (оскільки вся довжина відрізка 12 см). Тепер ми хочемо знайти такі значення "х", які мінімізують суму площ квадратів, побудованих на цих частинах.

Площа квадрата буде дорівнювати квадрату його сторони. Отже, площа квадрата для першої частини буде x^2, а для другої частини - (12 - x)^2.

Сума площ квадратів: \[S(x) = x^2 + (12 - x)^2\]

Тепер давайте розкриємо квадрати: \[S(x) = x^2 + (144 - 24x + x^2)\] \[S(x) = 2x^2 - 24x + 144\]

Тепер ми можемо знайти критичні точки, при яких похідна функції дорівнює нулю: \[S'(x) = 4x - 24\] \[4x - 24 = 0\] \[4x = 24\] \[x = 6\]

Тепер, щоб перевірити, чи це точка мінімуму, використаємо другу похідну: \[S''(x) = 4\]

Оскільки друга похідна завжди додатня, це підтверджує, що x = 6 - точка мінімуму.

Таким чином, для мінімізації суми площ квадратів потрібно вибрати x = 6 см. Тепер можемо обчислити суму площ квадратів: \[S(6) = 6^2 + (12 - 6)^2 = 36 + 36 = 72\]

Отже, мінімальна сума площ квадратів дорівнює 72 кв. см.