Question

У паралелограмі KMNP проведено бісектрису кута MKP, яка перетинає сторону MN у точці E. Знайди сторону KP паралелограма KMNP, якщо ME=8см, а периметр паралелограма дорівнює 40 см

Answer 1

Задача вимагає використання властивостей паралелограма та властивостей бісектрис у трикутнику.

Позначимо сторони паралелограма KMNP та потрібну сторону KP. Нехай KM = a, MP = b, а кут MKP має бісектрису, яка перетинає сторону MN у точці E.

Ми знаємо, що периметр паралелограма дорівнює сумі всіх його сторін:

\[P = 2a + 2b\]

Також, оскільки E є точкою перетину бісектриси та сторони MN, за теоремою про бісектрису трикутника, ми можемо сказати, що відношення ME до EN дорівнює відношенню сторін MK до KP. Тобто:

\[\frac{ME}{EN} = \frac{MK}{KP}\]

Але ми знаємо, що ME = 8 см.

Отже, \( \frac{8}{b} = \frac{a}{KP} \).

Ми також можемо використовувати властивості паралелограма, наприклад, той факт, що протилежні сторони паралелограма рівні, тобто \(a = b\).

Замінимо a на b у формулі периметру:

\[P = 2a + 2b = 4b\]

Тепер у нас є дві рівняння:

\[ \frac{8}{b} = \frac{b}{KP} \]

\[ P = 4b \]

Розв'язавши перше рівняння відносно KP, отримаємо:

\[ KP = \frac{b^2}{8} \]

Тепер підставимо це значення у друге рівняння:

\[ 4b = \frac{b^2}{8} \]

Множимо обидві сторони на 8, отримуємо:

\[ 32b = b^2 \]

Розкладемо це рівняння на множники:

\[ b(b - 32) = 0 \]

Отримуємо два рішення:

\[ b = 0 \] або \[ b = 32 \]

Однак довжина сторінки b не може дорівнювати 0, отже, \( b = 32 \).

Тепер можемо знайти KP:

\[ KP = \frac{b^2}{8} = \frac{32^2}{8} = \frac{1024}{8} = 128 \]

Отже, сторона KP паралелограма KMNP дорівнює 128 см.