Question

Дано прямокутник ABCD. До його діа- льні. гоналі BD проведені перпендикуляри AM iCN. Точки M iN зʼєднані відповідно з точ- ками С i A. Довести, що чотирикутник AMCN - паралелограм.

Answer 1

дійсно, чотирикутник AMCN є паралелограмом, оскільки протилежні сторони AM та CN паралельні, та діагоналі BD та MN є взаємно перпендикулярними, що свідчить про рівність протилежних кутів.

Answer 2

Для доведення, що чотирикутник AMCN є паралелограмом, ми можемо використати властивості прямокутника та перпендикулярних ліній.

Властивості прямокутника:

1. Протилежні сторони прямокутника паралельні. 2. Діагоналі прямокутника рівні та перетинаються в середині.

Властивості перпендикулярних ліній:

1. Якщо дві лінії перпендикулярні до третьої лінії, то вони взаємно перпендикулярні між собою.

Доведення:

1. За умовою, діагоналі BD, AM та CN є перпендикулярними. 2. За властивістю перпендикулярних ліній, лінії AM і CN взаємно перпендикулярні між собою. 3. За властивістю прямокутника, сторона AB паралельна стороні CD, а сторона AD паралельна стороні BC. 4. За властивістю прямокутника, діагоналі BD перетинаються в середині, тобто точка M є серединою діагоналі BD. 5. За властивістю прямокутника, діагоналі BD рівні, тобто |BM| = |MD|. 6. За властивістю прямокутника, діагоналі BD розділяються пополам, тобто |AM| = |MD|. 7. За властивістю перпендикулярних ліній, лінії AM і CN взаємно перпендикулярні між собою. 8. За властивістю прямокутника, сторона AB паралельна стороні CD, а сторона AD паралельна стороні BC. 9. Отже, за властивостями паралелограма, чотирикутник AMCN є паралелограмом.

Отже, доведено, що чотирикутник AMCN є паралелограмом.