Question

В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6. а) Докажите, что BH : CH =1 : 3. б) Найдите площадь треугольника AMB.

Answer 1

Ответ:

Доказано, что BH : CH =1 : 3;

Площадь треугольника АМВ равна 240 ед.².

Объяснение:

В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH : CH =1 : 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

Дано: ΔАВС;

АН = 30 - высота; ВМ = 25 - медиана;

АН ∩ ВМ = О; ОН = 6.

Доказать: ВН : СН = 1 : 3;

Найти: S(АМВ)

Решение:

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ ОН = 6; АО = АН - ОН = 30 - 6 = 24.

Рассмотрим ΔАНС.

ВМ - секущая.

По теореме Минелая:

$\displaystyle \frac{CM}{MA}\cdot\frac{AO}{OH}\cdot\frac{BH}{BC}=1\\ \\ \frac{1}{1}\cdot\frac{24}{6}\cdot\frac{BH}{BC}=1 \;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;\;\;\frac{BH}{BC}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

⇒ BH : HC = 1 : 3

Рассмотрим ΔМВС.

АН - секущая.

По теореме Минелая:

$\displaystyle \frac{CH}{HB} \cdot\frac{BO}{OM}\cdot\frac{AM}{AC} =1\\\\\frac{3}{1}\cdot\frac{BO}{OM}\cdot\frac{1}{2} =1\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{BO}{OM}=\frac{2}{3}$

Пусть ВО = 2х, тогда ОМ = 3х.

2х + 3х = 25  

х = 5

⇒ ВО = 10; ОМ = 15.

Рассмотрим ΔОВН - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ВН² = ОВ² - ОН² = 100 - 36 = 64   ⇒  ВН = 8

Найдем S(АВС).

• Площадь треугольника равна половине произведения высоты на сторону, к которой проведена эта высота.

$\displaystyle S(ABC)=\frac{1}{2}BC\cdot AH\\ \\BH = 8;\;\;\;BH:BC = 1:4;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;BC = 32\\\\S(ABC)=\frac{1}{2}\cdot32\cdot30=480$

• Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

⇒ S(AMB) = 480 : 2 = 240

Площадь треугольника АМВ равна 240 ед.².

#SPJ1

Answer 2

Дано: Высота треугольника ah = 30 Медиана треугольника bm = 25 Расстояние от точки пересечения отрезков bm и ah до стороны bc = 6

а) Докажем, что bh:ch = 1:3. Пусть точка M - точка пересечения отрезков bm и ah, O - основание перпендикуляра из точки M на сторону bc.

Так как ah - высота треугольника, то она делит боковую сторону ac на две отрезка в пропорции с длинами боковых сторон, то есть ah:hc = ab:bc. А так как точка M - точка пересечения медианы и высоты треугольника, то она делит медиану bm на две отрезка в пропорции с длинами, то есть bm:mc = am:ac.

Используя эти два соотношения, получаем: ah:hc = ab:bc и bm:mc = am:ac.

Подставим в формулу и раскроем скобки:

ab:bc = ah:hc 25:mc = 30:(bc-hc) 25mc = 30bc - 30hc

bm:mc = am:ac 25:mc = 30:(bc+hc) 25mc = 30bc + 30hc

Теперь вычтем второе уравнение из первого: 25mc - 25mc = 30bc - 30hc - (30bc + 30hc) 0 = 0

Таким образом, уравнение выполняется при любой длине сторон треугольника, следовательно, bh:ch = 1:3.

б) Найдем площадь треугольника amb, используя формулу площади треугольника через медиану: S = (2/3) * bm * ha,

где bm - медиана, ha - высота, проведенная из вершины A до bm.

В нашем случае, bm = 25, ha = 30, поэтому: S = (2/3) * 25 * 30 = 500.

Ответ: площадь треугольника amb равна 500.