Question

4. Известны координаты вершин треугольника СРМ: C(-2;8), P(6;2), M(2;-6). Определите косинус меньшего угла треугольника. (пожалуйста, решите используя правило √(Хp-Хс)²+(Ур-Ус)² и т.д.)​

Answer 1

Для нахождения косинуса меньшего угла треугольника СРМ, мы можем использовать координаты вершин C, P и M. Давайте обозначим точки C(-2;8), P(6;2) и M(2;-6) как C(x1, y1), P(x2, y2) и M(x3, y3).

Для вычисления косинуса угла между векторами CP и CM, мы можем воспользоваться формулой скалярного произведения:

cos(θ) = (CP · CM) / (|CP| * |CM|),

где CP - вектор, идущий от C к P, и CM - вектор, идущий от C к M.

Теперь вычислим значения векторов и их длины:

Вектор CP:
CP = (x2 - x1, y2 - y1) = (6 - (-2), 2 - 8) = (8, -6).
|CP| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((6 - (-2))² + (2 - 8)²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Вектор CM:
CM = (x3 - x1, y3 - y1) = (2 - (-2), -6 - 8) = (4, -14).
|CM| = √((x3 - x1)² + (y3 - y1)²) = √((2 - (-2))² + (-6 - 8)²) = √(4² + 14²) = √(16 + 196) = √212.

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла θ:

cos(θ) = (CP · CM) / (|CP| * |CM|) = (8 * 4 + (-6) * (-14)) / (10 * √212) = (32 + 84) / (10 * √212) = 116 / (10 * √212).

Теперь можно упростить это выражение:

cos(θ) = (58 / 5) * (1 / √212).

Итак, косинус меньшего угла треугольника СРМ равен (58 / 5) * (1 / √212).

Answer 2

Для определения косинуса меньшего угла треугольника СРМ, давайте обозначим координаты вершин следующим образом:

C(x_1, y_1) = (-2, 8) P(x_2, y_2) = (6, 2) M(x_3, y_3) = (2, -6)

Затем найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками:

AB = √((x_2 - x_1)² + (y_2 - y_1)²) BC = √((x_3 - x_2)² + (y_3 - y_2)²) CA = √((x_1 - x_3)² + (y_1 - y_3)²)

Вычислим:

AB = √((6 - (-2))² + (2 - 8)²) = √64 + 36 = √100 = 10 BC = √((2 - 6)² + ((-6) - 2)²) = √16 + 64 = √80 = 4√5 CA = √((-2 - 2)² + (8 - (-6))²) = √16 + 196 = √212 = 2√53

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника. Обозначим эти длины как a (BC), b (CA), и c (AB). Также обозначим углы как A (угол при C), B (угол при P), и C (угол при M).

Теперь воспользуемся формулой косинуса для нахождения косинуса угла C (меньшего угла):

\[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Подставим значения:

\[ \cos C = \frac{(4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{53})^2 - 10^2}{2 \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{53}} \]

\[ \cos C = \frac{80 + 212 - 100}{2 \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{53}} \]

\[ \cos C = \frac{192}{2 \cdot 4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{53}} \]

\[ \cos C = \frac{192}{16\sqrt{5}\sqrt{53}} \]

\[ \cos C = \frac{12}{\sqrt{5}\sqrt{53}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\sqrt{53}\), чтобы избавиться от корней в знаменателе:

\[ \cos C = \frac{12 \cdot \sqrt{5}\sqrt{53}}{5 \cdot 53} \]

\[ \cos C = \frac{12 \cdot \sqrt{5}\sqrt{53}}{265} \]

Таким образом, косинус меньшего угла треугольника СРМ равен \(\frac{12 \cdot \sqrt{5}\sqrt{53}}{265}\).