Question

Докажите, что если две высоты треугольника равны друг другу, то стороны, к которым проведены эти высоты также равны?

Answer 1

Допустим так: 
Высота образует со стороной, к которой опущена, прямой угол. 
Сторона треугольника, прилежащая к вершине, из которой проведена высота, сама высота и отрезок стороны, к которой опущена высота, образуют прямоугольный треугольник. Если провести две высоты, из двух углов, значит имеем два прямоугольных треугольника с одним общим углом, третьим в исходном треугольнике. Второй угол прямой. Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов, значит и третьи углы этих треугольников равны. А если ещё и одна сторона, примыкающая к прямому (или другому, но одинаковому по величине углу) одинакова в двух треугольниках, то эти треугольники равны, то есть хотя бы две стороны, прилегающие к углам, из которых проведены высоты в исходном треугольнике, равны.

Answer 2

Доказательство равенства сторон треугольника, к которым проведены равные высоты

Для доказательства того, что стороны треугольника, к которым проведены равные высоты, также равны, мы можем использовать свойства треугольников и теорему о высотах.

Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором высоты AD и BE равны друг другу. Нам нужно доказать, что стороны AB и AC также равны.

Доказательство:

1. По теореме о высотах, высота, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону на две отрезка, пропорциональных друг другу и пропорциональных соответствующим сегментам других сторон треугольника.

2. Пусть AD и BE - равные высоты треугольника ABC. Поэтому, отрезки BD и CE, которые являются сегментами сторон AB и AC, соответственно, также равны друг другу.

3. Теперь рассмотрим треугольникы ABD и ACE. У них есть общая высота AD и равные сегменты BD и CE. Поэтому, эти треугольники подобны друг другу по двум сторонам и углу.

4. Из подобия треугольников ABD и ACE следует, что соответствующие стороны AB и AC также пропорциональны друг другу.

5. Но мы уже знаем, что отрезки BD и CE равны друг другу. Поэтому, соответствующие стороны AB и AC также равны друг другу.

Таким образом, мы доказали, что если две высоты треугольника равны друг другу, то стороны, к которым проведены эти высоты, также равны.

Примечание:

Доказательство основано на свойствах треугольников и теореме о высотах. Это общепринятый математический результат и может быть найдено в учебниках по геометрии и математике.