Question

На рёбрах B1C1 и C1D1 соответственно отмечены точки N и M так, что B1N:NC1=1:3;C1M:MD1=1:4. Определи косинус угла α между прямыми BN и CM, если ребро куба равняется 1 ед. изм.ДОЛЖНО ПОЛУЧИТЬСЯ cosa =

Answer 1

Для определения косинуса угла α между прямыми BN и CM, нам нужно найти векторы, задающие эти прямые, и затем использовать формулу для косинуса угла между векторами.

1. Найдем вектор BN. Мы знаем, что точка N делит ребро B1C1 в отношении 1:3, поэтому координаты точки N можно найти как средневзвешенное между координатами точек B1 и C1:

N = (1/4) * B1 + (3/4) * C1

2. Аналогично, найдем вектор CM. Точка M делит ребро C1D1 в отношении 1:4:

M = (1/5) * C1 + (4/5) * D1

3. Теперь мы можем найти векторы BN и CM, вычитая соответствующие начальные точки:

BN = N - B1 CM = M - C1

4. Теперь, чтобы найти косинус угла α между векторами BN и CM, используем следующую формулу:

cos α = (BN · CM) / (||BN|| * ||CM||)

где · обозначает скалярное произведение, ||BN|| и ||CM|| - длины векторов BN и CM соответственно.

Для вычисления скалярного произведения BN и CM, сначала найдем эти векторы:

BN = N - B1 = (1/4) * B1 + (3/4) * C1 - B1 = (1/4) * B1 - (1/4) * C1

CM = M - C1 = (1/5) * C1 + (4/5) * D1 - C1 = (1/5) * C1 - (4/5) * D1

Теперь вычислим скалярное произведение BN и CM:

BN · CM = [(1/4) * B1 - (1/4) * C1] · [(1/5) * C1 - (4/5) * D1]

Раскроем скобки и упростим:

BN · CM = (1/20) * (B1 · C1) - (1/20) * (B1 · D1) - (1/20) * (C1 · C1) + (4/20) * (C1 · D1)

Теперь нам нужно вычислить длины векторов BN и CM:

||BN|| = √[(1/4)^2 * ||B1||^2 + (3/4)^2 * ||C1||^2] ||CM|| = √[(1/5)^2 * ||C1||^2 + (4/5)^2 * ||D1||^2]

Теперь, подставив все найденные значения в формулу для косинуса угла α, мы получим:

cos α = [(1/20) * (B1 · C1) - (1/20) * (B1 · D1) - (1/20) * (C1 · C1) + (4/20) * (C1 · D1)] / [√[(1/4)^2 * ||B1||^2 + (3/4)^2 * ||C1||^2] * √[(1/5)^2 * ||C1||^2 + (4/5)^2 * ||D1||^2]]

Теперь у вас есть формула для вычисления косинуса угла α между прямыми BN и CM, используя известные координаты точек B1, C1 и D1, а также длины ребер куба.