Question

Множину чисел 1,2,3, .., 2017 розбили на дві групи. До першої групи віднесли всі числа з непарною сумою цифр, а до другої - з парною. Визначте, що більше: сума всіх чисел першої групи, чи сума всіх чисел другої групи. ДОПОМОЖІІТЬ

Answer 1

Для вирішення цієї задачі спершу давайте розглянемо, які числа входять в кожну з груп.

Перша група міститиме всі числа з непарною сумою цифр. Щоб знайти всі такі числа, враховуємо, що:

- Всі однозначні числа (1-9) мають непарну суму цифр. - Всі двозначні числа з непарною сумою цифр мають одну цифру непарного числа і одну цифру парного числа (наприклад, 13, 15, 17 і т. д.). - Всі трьохзначні числа з непарною сумою цифр мають або дві цифри непарного числа і одну цифру парного числа або одну цифру непарного числа і дві цифри парного числа (наприклад, 103, 105, 107, 130, 150, 170 і т. д.).

Таким чином, всі числа з непарною сумою цифр у нашому випадку включають всі однозначні числа, числа з двома непарними цифрами (наприклад, 13, 15, 17), числа з однією непарною і двома парними цифрами (наприклад, 103, 105, 107), і так далі.

Друга група буде містити всі числа з парною сумою цифр, тобто всі числа, які не включені в першу групу.

Тепер давайте знайдемо суму всіх чисел в кожній групі:

1. Перша група: сума всіх чисел з непарною сумою цифр. Вона включає числа 1-9, а також числа з двома непарними цифрами, які можна представити як 10x + y, де x і y - непарні цифри (наприклад, 13, 15, 17).

Тепер визначимо, скільки є таких чисел у межах від 1 до 2017. Існує дві непарні цифри (1, 3, 5, 7, 9), тобто 5 можливих варіантів для x і також 5 можливих варіантів для y. Отже, маємо 5 * 5 = 25 чисел з двома непарними цифрами.

Крім того, є однозначні числа, які також входять в цю групу (1-9). Отже, маємо ще 9 чисел однозначних чисел.

Сума всіх чисел з непарною сумою цифр:

9 (однозначні числа) + 25 (числа з двома непарними цифрами) = 34

2. Друга група: всі інші числа з парною сумою цифр.

Це включає всі однозначні числа, двозначні числа з парною сумою цифр, трьохзначні числа з двома парними цифрами та однією непарною цифрою (наприклад, 20, 22, 24, 200, 202, 204 і т. д.).

Щоб знайти суму всіх таких чисел в межах від 1 до 2017, можна відняти суму першої групи від загальної суми всіх чисел:

Сума всіх чисел від 1 до 2017 - Сума першої групи = 1 + 2 + 3 + ... + 2017 - 34

Тепер можна розрахувати ці суми:

Сума всіх чисел від 1 до 2017 = (2017 * (2017 + 1)) / 2 = 2035218

Сума другої групи = 2035218 - 34 = 2035184

Отже, сума всіх чисел другої групи більша за суму всіх чисел першої групи.