Question

Помогите пожалуйста . Даны два треугольника: PRS и P1R1S1, точки пересечения медиан которых совпадают. Докажите , используя векторы, что прямые PP1,RR1 и SS1 в этом случае параллельны некоторой плоскости.можно с решением и чертежом пожалуйста .​

Answer 1

Объяснение:

Я тоже учусь в InternetUrok)

Answer 2

Чтобы доказать, что прямые pp1, rr1 и ss1 параллельны некоторой плоскости, воспользуемся свойствами векторов и ориентированной площади треугольника.

Пусть A, B и C - вершины треугольника prs, а A1, B1 и C1 - вершины треугольника p1r1s1. Тогда медианы треугольника prs проходят через точку G - центр тяжести треугольника prs, а медианы треугольника p1r1s1 проходят через точку G1 - центр тяжести треугольника p1r1s1. По условию, точки G и G1 совпадают.

Пусть M - середина отрезка pr, N - середина отрезка rs и K - середина отрезка sp.

Так как G - центр тяжести треугольника prs, то вектор MG = AG/3 + BG/3 = (2/3)AM + (1/3)BM.

Аналогично, вектор MG1 = A1G1/3 + B1G1/3 = (2/3)A1M + (1/3)B1M.

Так как точки G и G1 совпадают, вектор MG равен вектору MG1, а значит

(2/3)AM + (1/3)BM = (2/3)A1M + (1/3)B1M.

Перегруппируем выражение:

(1/3)BM - (1/3)B1M = (2/3)A1M - (2/3)AM.

Домножим обе части равенства на 3:

BM - B1M = 2A1M - 2AM.

Далее, переведем все векторы в начало координат.

Обозначим через p, r и s векторы п1m, m1r1 и s1m1 соответственно.

Тогда вектор BM = -B, B1M = B1, A1M = A1 и AM = -A.

Получаем:

-B + B1 = 2A1 - 2A.

Мы можем записать это равенство в виде:

2A + B = 2A1 + B1.

Рассмотрим выражение векторного произведения векторов AB и A1B1:

AB x A1B1 = AB x (A1 - A) = AB x A1 - AB x A.

Так как AB = A - B, получим:

(A - B) x A1B1 = (A - B) x A1 - (A - B) x A = A x A1 - A x B - B x A1 + B x A.

Так как векторное произведение не коммутативно (A x B = -B x A), то получаем:

-A x B + A1 x B - B x A1 + B x A = B x A - B x A1 + A1 x B - A x B = B1 x A - B1 x A1.

Таким образом, (A - B) x A1B1 = B1 x A - B1 x A1.

Мы знаем, что прямые AB и A1B1 проходят через точку G и G1 соответственно.

Следовательно, векторное произведение (A - B) x A1B1 равно нулю.

То есть, (A - B) x A1B1 = 0.

С учетом того, что (A - B) x A1B1 = B1 x A - B1 x A1, получаем:

B1 x A = B1 x A1.

Это означает, что векторы B1A и B1A1 коллинеарны, то есть лежат на одной прямой.

Аналогично можно показать, что векторы A1B и A1B1 коллинеарны.

Таким образом, прямые AB и A1B1, а также прямые BA и BA1 параллельны.

Проведем аналогичные рассуждения для остальных прямых:

Прямые AB и A1B1 коллинеарны.

Прямые BC и B1C1 коллинеарны.

Прямые CA и C1A1 коллинеарны.

Таким образом, все прямые pp1, rr1 и ss1 параллельны, исходя из аксиом Гильберта о параллельных прямых.

Чертеж: (прямые AB и A1B1 параллельны) ``` B------A ------ ----- -------- ------A1-----B1 ```