Question

В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC=3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите отношение BF:FA.

Answer 1

Сделать чертёж. Разделить сторону ВС на 4 части. Обозначить на расстоянии 1 от точки В точку N. Тогда BN=1, NC=3. Провести прямую MN согласно условию. Параллельно ей провести из точки А прямую , которая пересечёт сторону ВС в точке Р.
Рассмотреть треугольник MNC. Отрезок АР в нём - средняя линия, следовательно, точка Р делит сторону NC пополам.
Но NC=3, значит, NP=1,5.
Таким образом, BN относится к NP как 1:1,5 или как 2:3. Поскольку MN и АР параллельны (по построению), то таким же будет и соотношение отсекаемых ими отрезков на стороне АВ.
Ответ: 2:3

Answer 2

Given Information

In triangle ABC, point N is taken on side BC such that NC = 3BN. Point M is taken on the extension of side AC beyond point A such that MA = AC. The line MN intersects side AB at point F.

Solution

To find the ratio BF:FA, we can use the properties of similar triangles. Let's analyze the given information step by step.

1. Triangle ABC: - Point N is taken on side BC such that NC = 3BN. - Point M is taken on the extension of side AC beyond point A such that MA = AC.

2. Triangle AMN: - Triangle AMN is similar to triangle ABC because they share the same angles. - From the given information, we know that MA = AC and NC = 3BN. - Therefore, the ratio of corresponding sides in similar triangles AMN and ABC is MA:AC = 1:1 and NC:BN = 3:1.

3. Triangle ABF: - Triangle ABF is also similar to triangle ABC because they share the same angles. - Since triangle AMN is similar to triangle ABC, triangle ABF is also similar to triangle AMN. - Therefore, the ratio of corresponding sides in similar triangles ABF and AMN is BF:FA = NC:BN = 3:1.

Answer

The ratio of BF:FA is 3:1.