Question

Центр кола, вписаного в трикутник ABC, віддалений на 2 см і на 5 см від вершини В і С відповідно. Знайдіть сторону BC, якщо кут A = 60°.​

Answer 1

Ответ:

$\sqrt{39}$

Объяснение:

Answer 2

Дано, що висота AD, проведена з вершини A трикутника ABC до основи BC (показана на малюнку).

Також доведено, що центр кола, вписаного в трикутник ABC, віддалений на 2 см від вершини B і на 5 см від вершини C.

Ми можемо записати, що BD = 2 см і DC = 5 см.

За властивостями вписаного кола знаходимо, що точки дотику кола до сторін трикутника (позначимо ці точки E, G, F на малюнку) ділять сторони трікутника на пропорційні частини. За цим принципом ми знаходимо що:

BC / BD = CE / CD BC / 2 = CE / 5 (*)

Також у трікутнику ABC, ми маємо утворений прямокутний трикутник кутами a, B і C А оскільки кут a = 60°, і сума кутів в трикутнику ABC дорівнює 180°, то кути B і C є рівними: B = (180 - 60) / 2 = 60° C = (180 - 60) / 2 = 60°

Так як кути B і C в трікутнику ABC рівні 60°, то трикутник ABC є рівностороннім трикутником.

Тепер ми можемо записати: AB=BC=AC=x

Підставляємо дані у рівняння (*) і маємо: x/2 = CE / 5

Для знаходження CE ми можемо використати співвідношення трикутників: ADE ~ ABC

Це означає, що співвідношення довжин сторін існують між пов'язаними парами сторін.

AD / AB = DE / BC = AE / AC

Знаючи, що AD = x і AB = x, ми можемо записати це співвідношення як:

x / x = DE / x => DE = x

DE - довжина сторони трикутника DEG (штрихований трикутник на малюнку).

Замінюємо DE на це значення у рівнянні (*) та розв'язуємо відносно x:

x / 2 = CE / 5, x = 2CE / 5 (**)

Також ми знаємо, що трикутник DEG є рівностороннім трикутником.

Знаючи, що кут E = 60°, ми можемо використати теорему синусів для знаходження CE:

sin(E) = CE / DE sin(60) = CE / x

sin(60) = √3 / 2, тому:

√3 / 2 = CE / x

Перемножуємо обидві частини на x та отримуємо:

√3 / 2 * x = CE

Підставляємо це значення в (**):

x = 2 * (√3 / 2 * x) / 5

Скорочуємо з x:

1 = √3 / 5

Перемножуємо обидві частини на 5:

5 = √3

Підносимо до квадрату обидві частини:

25 = 3

Отримуємо некоректне співвідношення.

Це означає, що сторони трикутника не можуть задовольняти таким вимогам, і ми не зможемо знайти значення сторони BC.