Question

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60∘ , сумма гипотенузы и меньшего катета равна 33 см. Найди длину гипотенузы.

Answer 1

Ответ: 22 см

Объяснение: Подробное объяснение наверняка окажется полезным тем, кто по какой-либо причине  не понял  тему в классе.

   Прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°, это, по сути, половина равностороннего треугольника, который высотой ( медианой, биссектрисой) разделен на два равных прямоугольных.  При этом в треугольниках, на которые поделила высота одну из сторон, будут катеты, равные половине исходной стороны: АМ=СМ ( см. рисунок).

   Пусть в равностороннем треугольнике АВС высота ВМ «отсекла» от него  прямоугольный ∆ АВМ.

 Угол ВАМ=60°, второй острый угол ∆ АВМ=180°-90°-60°=30°, а противолежащий ему катет АМ равен половине АС, значит, равен половине АВ (его гипотенузы). АМ- меньший катет такого треугольника  т.к. в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Вывод: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла, равного 30°, равен половине гипотенузы.

Итак:

АМ+СМ=АС=АВ;

АМ=СМ => АВ=2 АМ

Решение.

АВ+АМ=3 АМ=33 см( дано).

АМ=33:3=11 см ( меньший катет)

Гипотенуза АВ=2•11=22 (см).  

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников. У нас есть следующая информация:

1. Один из углов треугольника равен 60 градусов. 2. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 33 см.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов, угол противоположный меньшему катету равен 30 градусов, а угол противоположный большему катету равен 90 градусов.

Теперь мы можем использовать тригонометрический закон синусов, который гласит:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Где: - \(a\) - длина стороны, противолежащей углу \(A\), - \(b\) - длина стороны, противолежащей углу \(B\), - \(c\) - длина стороны, противолежащей углу \(C\), - \(\sin(A)\) - синус угла \(A\), - \(\sin(B)\) - синус угла \(B\), - \(\sin(C)\) - синус угла \(C\).

В данном случае у нас есть следующие данные:

- Угол \(A\) равен 60 градусов, поэтому \(\sin(A) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). - Сумма гипотенузы (\(c\)) и меньшего катета (\(a\)) равна 33 см.

Теперь мы можем записать уравнение:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{1}\)

Далее, умножим обе стороны на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\(a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = c\)

Теперь, зная, что \(a + c = 33\), мы можем записать систему уравнений:

1. \(a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = c\) 2. \(a + c = 33\)

Решим эту систему уравнений. Сначала выразим \(c\) из первого уравнения:

\(c = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

\(a + a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 33\)

Упростим:

\(a \left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 33\)

Теперь выразим \(a\):

\(a = \frac{33}{1 + \frac{2}{\sqrt{3}}}\)

Далее, упростим выражение в знаменателе:

\(a = \frac{33}{1 + \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{33}{\frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}} = \frac{33 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\)

Теперь найдем значение \(c\), используя выражение \(c = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\):

\(c = \frac{33 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{66}{\sqrt{3} + 2} = \frac{66(\sqrt{3} - 2)}{3 - 4} = -66(\sqrt{3} - 2)\)

Таким образом, длина гипотенузы \(c\) равна \(66(\sqrt{3} - 2)\) см.