Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна √3, а двугранный угол при основании 45°, найти объем пирамиды

Answer 1

Ответ:

V=9

Объяснение:

Впишем в основание окружность.

∆SKO- прямоугольный, равнобедренный треугольник. (<SOK=90°; <SKO=45°; <KSO=180°-<SOK-<SKO=180°-90°-45°=45°), углы при основании равны 45°.

КО=SO=√3

КО=r

AB=r*2√3=√3*2√3=6

Sосн=АВ²√3/4=6²√3/4=9√3

V=1/3*Sосн*h=1/3*9√3*√3=9

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для вычисления объема правильной треугольной пирамиды. Объем пирамиды определяется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h, \]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания пирамиды, а \(h\) - высота пирамиды.

Для правильной треугольной пирамиды, основание которой является равносторонним треугольником, площадь основания можно вычислить с помощью формулы:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}, \]

где \(a\) - длина стороны основания.

Так как дана высота \(\sqrt{3}\) и двугранный угол при основании равен 45°, то мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления длины стороны основания \(a\). Поскольку у нас есть двугранный угол, мы можем использовать тригонометрический косинус:

\[ \cos(45°) = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Отсюда мы находим, что \(a = \sqrt{2} \times \sqrt{3}\).

Подставив известные значения \(S_{\text{осн}}\) и \(h\) в формулу для объема пирамиды, получаем:

\[ V = \frac{1}{3} \times \frac{(\sqrt{2} \times \sqrt{3})^2 \times \sqrt{3}}{4} \times \sqrt{3} = \frac{1}{3} \times \frac{2 \times 3 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} \times \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{4}. \]