Question

В прямоугольном треугольнике АСВ( C= 90°) , АВ =8, ABC =30°.С центром в точке А проведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы: а)окружность касалась прямой ВС; b) окружность не имела общих точек с прямой ВС; c)окружность имела две общие точки с прямой ВС

Answer 1

Дано:

треугольник АСВ

АВ = 8 см

угол АВС = 30 градусов

Решение:

а) катет АС = 1/2 гипотенузы АВ (так как лежит напротив угла в 30 градусов), следовательно АС = 8/2 = 4 см, следовательно радиус окружности должен быть 4 см.

b) её радиус должен быть меньше 4 см (длина катета АС)

c) её радиус должен быть больше 4 см (длина катета АС)

Answer 2

Для решения задачи, нам понадобятся различные свойства окружностей и теорема тангенций.

а) Чтобы окружность касалась прямой ВС, мы можем использовать свойство, что радиус, проведенный к точке касания окружности с прямой, перпендикулярен касательной. То есть, мы можем провести радиус окружности, который будет перпендикулярен к прямой ВС. Поскольку АВ = 8, то радиус окружности должен быть равен половине этого значения, то есть R = 4.

б) Чтобы окружность не имела общих точек с прямой ВС, мы должны разместить ее по другую сторону от прямой, поэтому нужно пересечь прямую ВС другим радиусом окружности, который не пересекает прямую ВС. В этом случае, радиус должен быть меньше расстояния от точки А до прямой ВС, чтобы он не пересекал ее. Поскольку АВ = 8, то радиус окружности должен быть меньше 8, например, R = 7.

в) Чтобы окружность имела две общие точки с прямой ВС, мы должны разместить ее по другую сторону от прямой и пересекать ее. В этом случае, радиус должен быть больше расстояния от точки А до прямой ВС, чтобы он пересекал ее. Поскольку АВ = 8, то радиус окружности должен быть больше 8, например, R = 9.

Таким образом, чтобы окружность касалась прямой ВС радиус должен быть 4, чтобы окружность не имела общих точек с прямой ВС радиус должен быть 7, а чтобы окружность имела две общие точки с прямой ВС радиус должен быть 9.