Question

У трикутнику центр описаного кола лежить на перетині двох медіан. Доведіть, що цей трикутник рівносторонній.​

Answer 1

Решение задачи в нижеприведенном файле:

Answer 2

Центр описаного кола трикутника, що лежить на перетині двох медіан

Для доведення того, що цей трикутник є рівностороннім, спочатку розглянемо властивості центра описаного кола трикутника, який лежить на перетині двох медіан.

Центр описаного кола трикутника - це точка, яка знаходиться на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Цей центр є центром кола, яке проходить через всі три вершини трикутника.

Доведення рівносторонності трикутника

Для доведення рівносторонності трикутника, який має центр описаного кола, що лежить на перетині двох медіан, ми можемо скористатися таким розумовим експериментом:

1. Припустимо, що трикутник не є рівностороннім. 2. Якщо трикутник не є рівностороннім, то хоча б одна з його сторін не дорівнює іншим сторонам. 3. Розглянемо сторону, яка не дорівнює іншим сторонам. Позначимо її як AB, а інші дві сторони як BC і AC. 4. Оскільки центр описаного кола трикутника лежить на перетині двох медіан, то він знаходиться на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника. 5. Розглянемо серединний перпендикуляр до сторони AB. Позначимо його як MP, де M - середина сторони AB, а P - точка перетину серединного перпендикуляра зі стороною AB. 6. Оскільки центр описаного кола трикутника лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника, то він також лежить на серединному перпендикулярі до сторони AB. 7. Оскільки M є серединою сторони AB, то MP є серединним перпендикуляром до сторони AB. Тому центр описаного кола трикутника також лежить на MP. 8. Аналогічно, центр описаного кола трикутника також лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін BC і AC. 9. Отже, центр описаного кола трикутника лежить на перетині серединних перпендикулярів до всіх сторін трикутника. 10. Але це суперечить визначенню центра описаного кола трикутника, оскільки центр описаного кола трикутника повинен знаходитися на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника. 11. Отже, припущення, що трикутник не є рівностороннім, є неправильним. 12. Таким чином, ми довели, що трикутник є рівностороннім.

Висновок

Таким чином, ми довели, що якщо центр описаного кола трикутника лежить на перетині двох медіан, то цей трикутник є рівностороннім.