Question

Треугольники А ВС и А1В1С1 подобны. Коэффициент подобия - k. Биссектриса угA1 равна b. Докажите, что биссектриса угла А равна kb​

Answer 1

Ответ:

Пусть треугольники ABC и A'B'C' подобны, при этом коэффициент подобия равен k (AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k). Пусть проведены биссектрисы AD и A'D', докажем, что тогда AD/A'D'=k. Действительно, углы A и A' подобных треугольников равны, тогда углы DAC и D'A'C' также равны. Значит, треугольники ACD и A'C'D' подобны по двум углам (углы C и C' также равны). Следовательно, AD/A'D'=AC/A'C'=k, что и требовалось доказать.

Объяснение,

Answer 2

Для доказательства этого факта можно воспользоваться свойством подобия треугольников.

Заметим, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, значит, их соответствующие стороны пропорциональны, и можно записать следующее соотношение:

AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1 = k

Также, известно, что биссектрису угла А1 (возможно, стоит уточнить, что угол А1 это угол при вершине А1, а не противоположный угол) равна b.

Обозначим биссектрису угла А через BD, где D - точка пересечения биссектрисы с стороной ВС.

Теперь воспользуемся теоремой биссектрисы:

AB/BD = AC/CD

Так как AB/BD = k (из условия), то получаем:

k = AC/CD

То есть, катет AC делится биссектрисой в отношении k:1.

Теперь заметим, что отношение длины биссектрисы к катету AD (где D - точка пересечения биссектрисы с стороной BC) будет равно:

BD/AD = k:1

Так как BD = b (из условия), то получаем:

b/AD = k:1

Тогда, AD = b/(k:1) = b*(1/k) = b/k

Таким образом, мы показали, что биссектриса угла А равна kb.