Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ ГЕОМЕТРИЯ 10 КЛАСС. 3 ЗАДАНИЯ. 1. Дан треугольник АВС, А(-2;3;-6), B(-3;5;2), C(5;1;6). Найдите координаты центра точки пересечения медиан двумя способами. 2. Дана треугольная пирамида DABC. найдите расстояние от центра тяжести в основании пирамиды, до её вершины D, если A(3;4;0), B(-4;2;0), C(6;5;0), D(2;3;8) 3. Точка М середина отрезка АВ. Найдите значения m и n , если a) А(1; m; -4), В(1; 05; 2n), К принадлежит оси Oy b) А(n+1; m; 0), В(1-m; n; 1), К принадлежит оси Oz

Answer 1

1) Один способ очень лёгкий: координаты точки пересечения медиан равны среднему арифметическому координат вершин.

А(-2;3;-6), B(-3;5;2), C(5;1;6),

x(O) = (-2-3+5)/3 = 0.

y(O) = (3+5+1)/3 = 3,

z(O) = (-6+2+6)/3 = 2/3.

Второй способ основан на свойстве точки пересечения медиан - она делит медиану в отношении 2:1 от вершины.

Находим координаты точки А1 как середины ВС:(B(-3;5;2)+ C(5;1;6))/2.

Точка А1 (середина ВС)  

a1x     a1y       a1z

1          3         4.

Поделим отрезок АА1 в отношении 2:1. А(-2;3;-6), А1(1; 3; 4).

АА1 = (3; 0; 10)

|AA1| = 10,44030651, квадрат 109.

x(О) = xА + (2/3)(АА1) = -2+((2/3)*3) = 0,

y(О) = yА + (2/3)(АА1) = 3+((2/3)*0) = 3,

z(О) = zА + (2/3)(АА1) = -6+((2/3)*10) = (-18+20)/3 = 2/3.

2) Дано: A(3;4;0), B(-4;2;0), C(6;5;0).

Находим центр как точку пересечения медиан.

x(O) = (3-4+6)/3 = 5/3,

y(O) = (4+2+5)/3 = 11/3,

z(O) = 0.

О((5/3; (11/3); 0), D(2;3;8).

Вектор ОД = ((1/3); (-2/3); 8).

Н = √((1/3)² + (-2/3)² + 8²) = √(1/9) + (4/9) + 64) = √581/3 ≈ 8,034647.

Answer 2

Решение задачи 1: Нахождение координат центра точки пересечения медиан треугольника

Дан треугольник ABC с координатами вершин A(-2;3;-6), B(-3;5;2), C(5;1;6). Найдем координаты центра точки пересечения медиан двумя способами.

Первый способ:

Медианы треугольника делятся в отношении 2:1 относительно своих концов. Зная координаты вершин треугольника, можем найти координаты точки пересечения медиан следующим образом:

1. Найдем координаты точки пересечения медиан, делящей сторону AB в отношении 2:1. Для этого найдем среднюю точку стороны AB:

M1 = ( (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2 ) = ( ( -2 + -3 ) / 2, ( 3 + 5 ) / 2, ( -6 + 2 ) / 2 ) = ( -2.5, 4, -2 )

2. Аналогично найдем координаты точки пересечения медиан, делящей сторону AC в отношении 2:1:

M2 = ( (x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2, (z1 + z3)/2 ) = ( ( -2 + 5 ) / 2, ( 3 + 1 ) / 2, ( -6 + 6 ) / 2 ) = ( 1.5, 2, 0 )

3. Наконец, найдем координаты точки пересечения медиан, делящей сторону BC в отношении 2:1:

M3 = ( (x2 + x3)/2, (y2 + y3)/2, (z2 + z3)/2 ) = ( ( -3 + 5 ) / 2, ( 5 + 1 ) / 2, ( 2 + 6 ) / 2 ) = ( 1, 3, 4 )

4. Теперь найдем координаты центра точки пересечения медиан, которая является точкой пересечения медиан треугольника ABC. Для этого найдем среднюю точку между точками M1, M2 и M3:

Center = ( (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3, (z1 + z2 + z3)/3 ) = ( ( -2.5 + 1.5 + 1 ) / 3, ( 4 + 2 + 3 ) / 3, ( -2 + 0 + 4 ) / 3 ) = ( 0, 3, 0 )

Таким образом, координаты центра точки пересечения медиан треугольника ABC равны (0, 3, 0).

Второй способ:

Второй способ основан на использовании векторных вычислений. Для нахождения координат центра точки пересечения медиан треугольника ABC, можно воспользоваться следующей формулой:

Center = ( A + B + C ) / 3

где A, B и C - координаты вершин треугольника.

Подставим значения:

Center = ( (-2, 3, -6) + (-3, 5, 2) + (5, 1, 6) ) / 3 = ( 0, 3, 0 )

Таким образом, получаем те же координаты центра точки пересечения медиан треугольника ABC: (0, 3, 0).

Решение задачи 2: Нахождение расстояния от центра тяжести основания пирамиды до её вершины

Дана треугольная пирамида DABC с вершинами A(3,4,0), B(-4,2,0), C(6,5,0) и D(2,3,8). Найдем расстояние от центра тяжести основания пирамиды до её вершины D.

Центр тяжести основания пирамиды находится в точке, которая является средней точкой между вершинами A, B и C. Для нахождения этой точки, найдем среднюю точку между координатами вершин A, B и C:

Center_base = ( (x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3, (z1 + z2 + z3)/3 ) = ( ( 3 - 4 + 6 ) / 3, ( 4 + 2 + 5 ) / 3, ( 0 + 0 + 0 ) / 3 ) = ( 5/3, 11/3, 0 )

Теперь, чтобы найти расстояние от центра тяжести основания пирамиды до вершины D, нужно вычислить длину вектора, соединяющего эти две точки:

Distance = sqrt( (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2 )

где (x1, y1, z1) - координаты центра тяжести основания пирамиды, (x2, y2, z2) - координаты вершины D.

Подставим значения:

Distance = sqrt( ( 5/3 - 2 )^2 + ( 11/3 - 3 )^2 + ( 0 - 8 )^2 ) = sqrt( ( -1/3 )^2 + ( -2/3 )^2 + ( -8 )^2 ) = sqrt( 1/9 + 4/9 + 64 ) = sqrt( 69/9 + 64 ) = sqrt( 69 + 576 ) = sqrt( 645 ) ≈ 25.4

Таким образом, расстояние от центра тяжести основания пирамиды до вершины D приближенно равно 25.4.

Решение задачи 3: Нахождение значений m и n

Даны точки А(1, m, -4), B(1, 0.5, 2n) и известно, что точка К принадлежит оси Oy.

a) Точка А(1, m, -4) принадлежит оси Oy, значит координата x=1, координата z=-4. Следовательно, точка А лежит на пересечении плоскостей Oxy и Oyz. Поэтому, x=1, z=-4. Значит, координаты точки А равны (1, m, -4).

b) Точка B(n+1, m, 0) принадлежит оси Oz, это означает, что координаты точки B равны (n+1, m, 0).

Теперь, чтобы найти значения m и n, приравняем координаты точек A и B:

x1 = x2: 1 = n + 1 y1 = y2: m = 0.5 z1 = z2: -4 = 0

Отсюда получаем, что n = 0 и m = 0.5.

Таким образом, значения m и n равны 0.5 и 0 соответственно.