Question

Диагональ куба равна 6см. Найдите: а)ребро куба б)косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней

Answer 1

$3a^2=36\\ a^2=12\\ a=\sqrt{12}=2\sqrt3\\ cosa=\frac{a\sqrt2}{d}=\frac{2\sqrt6}{6}=\frac{\sqrt6}{3}$

Answer 2

Решение

а) Найдем ребро куба, зная что диагональ куба равна 6 см.

Для этого воспользуемся формулой, связывающей диагональ куба и его ребро: $$d = \sqrt{3} \cdot a$$ где $d$ - диагональ куба, $a$ - его ребро.

Из данной формулы найдем значение ребра куба: $$a = \frac{d}{\sqrt{3}}$$ $$a = \frac{6}{\sqrt{3}}$$ $$a = 2\sqrt{3}$$

Ответ: Ребро куба равно $2\sqrt{3}$ см.

b) Найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами: $$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$ где $\vec{a}$ - вектор, задающий диагональ куба, $\vec{b}$ - вектор, задающий нормаль к плоскости грани куба, $\theta$ - угол между диагональю и плоскостью грани.

Так как диагональ куба соединяет противоположные вершины, то вектор, задающий диагональ, будет равен $\sqrt{3}a$, где $a$ - ребро куба.

Также, так как куб имеет 6 граней, то угол между диагональю и плоскостью грани будет равен углу между диагональю и нормалью к грани, который составляет $90^\circ$.

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней будет равен: $$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}a \cdot 1 \cdot \cos{90^\circ}}{|\sqrt{3}a| \cdot |1|}$$ $$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}a \cdot 0}{|\sqrt{3}a|}$$ $$\cos{\theta} = 0$$

Ответ: Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен 0.