Question

Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения а) стороны АС; б) высоты ВD; в) медианы АЕ. Найти длину стороны АС и высоты ВD. Вычислить площадь данного треугольника. 1.2. А(-2;0), В(0;5), С(3;-2).

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(-2;0), В(0;5), С(3;-2).

Составить уравнения:

а) стороны АС;

Вектор АС = (3-(-2); -2-0) = (5; -2).

Уравнение АС: (х + 2)/5 = у/(-2) каноническое.

                          2х + 5у + 4 = 0    общее.

                         у = (-2/5)х - (4/5)  с угловым коэффициентом.

б) высоты ВD;

Так как ВД это высота (перпендикуляр) к АС, то коэффициенты А и В в общем уравнении меняются на -В и А.

Уравнение ВД:   -5х + 2у + С = 0    общее.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки В.

-5*0 + 2*5 + С = 0, отсюда С = -10.

Уравнение ВД:   -5х + 2у - 10 = 0    общее или с положительным коэффициентом перед х:

Уравнение ВД:   5х - 2у + 11 = 0    общее.

в) медианы АЕ.

Находим координаты точки Е как середины стороны ВС.

Е = (В(0;5) + С(3;-2))/2 = (1,5; 1,5).   А(-2;0)

Вектор АЕ = (3,5; 1,5).

Уравнение АЕ: (х + 2)/3,5 = у/1,5 или с целыми координатами направляющего вектора: (х + 2)/7 = у/3   каноническое.

Найти длину стороны АС и высоты ВD.

|AC| = √(5² + (-2)²) = √(25 + 4) = √29.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²)  

Подставим в формулу данные: В(0;5), AC:   2х + 5у + 4 = 0

d =   |2·0+ 5·5 + 4| √(2² + 5²)  =   |0 + 25 + 4| /√(4 + 25)  =

=   29 /√29  =   √29  ≈  5.38516.

Вычислить площадь данного треугольника.

Можно применить 2 способа.

Есть сторона АС = √29 и высота ВД = 4√29/29.

S = (1/2)√29*√29 = 14,5.

Есть формула площади треугольника прямо по координатам вершин:

Площадь треугольника ABC      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 14,5.

Answer 2

а) Для составления уравнения стороны АС, найдем координаты точек А и С: А(-2;0), С(3;-2)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно записать в виде: y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)

Подставим координаты точек А и С: y - 0 = (-2 - 0) / (3 - (-2)) * (x - (-2)) y = -2/5 * (x + 2)

Таким образом, уравнение стороны АС: y = -2/5 * (x + 2)

б) Для составления уравнения высоты ВD, найдем координаты точек В и D: В(0;5), D(0;-2)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂