Question

Треугольник АВС - равносторонний, М - внутренняя точка отрезка ВС. Докажите, что АМ<АВ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

М - внутренняя точка отрезка ВС, значит всегда BM<BC и значит BM<AB. Раз так, то <BAM всегда будет меньше первоначальных 60°, а <BMA наоборот всегда >60° (это очевидно из теоремы "против большей стороны лежит больший угол"). И чем ближе М к B, тем <BAM меньше, а <BMA больше. При этом <ABМ=60° остаётся всегда.

По обратной к предыдущей теореме, против угла <BMA лежит большая сторона, чем против угла <ABM так как <BMA>60°. Значит AM<AB чтд.

Answer 2

Чтобы доказать, что в данном случае АМ < АВ, воспользуемся неравенством треугольника.

В равностороннем треугольнике все его стороны равны. Поэтому АВ = ВС = АС.

Мы знаем, что М - внутренняя точка отрезка ВС. Значит, она находится между В и С.

Применим неравенство треугольника к треугольнику АВМ:

АМ + МВ > АВ

Мы знаем, что ВС = АВ, поэтому МВ > ВС.

Значит, МВ > АВ.

Теперь мы можем переписать неравенство:

АМ + МВ > АВ

АМ + МВ > МВ

АМ > 0

Мы получили, что АМ > 0, то есть АМ больше нуля.

Так как АМ не может быть меньше нуля (так как это длина отрезка), то мы можем утверждать, что АМ < АВ.