Question

На прямой даны три точки A B C. На отрезке AB построен равносторонний треугольник ABC1, на отрезке BCпостроен равносторонний треуголӣник BCA1. Точка M середина отрезка AA1,точка N середина отрезка CC1. Доказать что треугольник BMN равносторонний.(Точка B лежит между точками A и C; точки A1 и C1 расположены по одну сторону от прямой АB)

Answer 1

Треугольники АВА1 и СВС1 равные: 

угол АВА1=АВС-А1ВС=180-60=120 и угол СВС1=АВС-АВС1=180-60=120; АВ=ВС1 и А1В=ВС.

ВМ и ВN - это соответствующие медианы. Значит ВМ=ВN, значит углы ВМN и BNM равны. Вершина В у  треугольников АВА1 и СВС1  общая. Можно сказать, что это один треугольник, повернутый вокруг центра В на угол АВС1=60 градусов. Значит угол между медианами МВN=60.

Тогда в треугольнике ВМN углы  ВМN = BNM =(180-МВN)/2 =60, значит он равносторонний