Question

Число диагоналей выпуклого многоугольника в 7 раз больше числа его сторон. Сколько у него вершин?

Answer 1

Число диагоналей (D) многоугольника вычисляется по формуле:

$d = \frac{n(n - 3)}{2}$

Где n - количество сторон многоугольника.

По условию имеем следующее уравнение:

$d = 7n \\ \frac{n(n - 3)}{2} = 7n \\ n(n - 3) = 14n$

n-3 = 14;

n = 14+3 = 17.

Если в многоугольнике 17 сторон, то и 17 вершин

Ответ: 17

Answer 2

Пусть число сторон многоугольника равно n.

Чтобы найти число вершин многоугольника, нам нужно знать, сколько различных точек пересечения диагоналей многоугольника.

Для каждой вершины многоугольника мы можем провести диагонали к остальным вершинам, кроме соседних. Таким образом, каждая вершина соединена с (n-3) другими вершинами.

Исходя из этого, суммарное число диагоналей, исходящих из всех вершин, будет равно n*(n-3).

По условию задачи, это число в 7 раз больше числа сторон многоугольника:

n*(n-3) = 7n.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим:

n² - 3n = 7n.

Перенесем все слагаемые влево:

n² - 10n = 0.

Факторизуем данное уравнение:

n(n - 10) = 0.

Из этого следует, что либо n = 0, либо n - 10 = 0.

Очевидно, что количество сторон не может быть нулем, так как многоугольник без сторон не существует. Значит, n - 10 = 0, откуда следует, что n = 10.

Таким образом, у многоугольника 10 вершин.