Question

- Найдите количество сторон выпуклого многоугольника, каждый угол которого равен: 1) 150°; 2) 170°; 3) 171°. Чему равно число сторон выпуклого многоугольника, если сумма всех его внутренних углов в три раза больше суммы его внешних углов, взятых по одному при каждой из его вершин?​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) Для выпуклого многоугольника, в котором каждый угол равен 150°, мы можем использовать теорему о сумме внутренних углов выпуклого многоугольника, которая гласит: сумма внутренних углов равна (n-2) * 180°, где n - количество сторон многоугольника.

Таким образом, у нас получается уравнение:

150° * n = (n-2) * 180°

150n = 180n - 360

360 = 30n

n = 12

То есть, у выпуклого многоугольника с углом в 150° будет 12 сторон.

2) Для выпуклого многоугольника, в котором каждый угол равен 170°, мы можем использовать ту же теорему:

170° * n = (n-2) * 180°

170n = 180n - 360

360 = 10n

n = 36

То есть, у выпуклого многоугольника с углом в 170° будет 36 сторон.

3) Для выпуклого многоугольника, в котором каждый угол равен 171°, мы также можем использовать теорему:

171° * n = (n-2) * 180°

171n = 180n - 360

360 = 9n

n = 40

То есть, у выпуклого многоугольника с углом в 171° будет 40 сторон.

4) Для нахождения количества сторон многоугольника, сумма внутренних углов которого в три раза больше суммы внешних углов, мы можем записать соответствующую формулу:

(n-2) * 180° = 3 * (n * 180° - 360°)

Раскроем скобки:

180n - 360° = 3n * 180° - 3 * 360°

180n - 360° = 540°n - 1080°

900° = 360°n

n = 900° / 360°

n = 2.5

Таким образом, у такого многоугольника будет 2.5 стороны. Однако, количество сторон многоугольника должно быть целым числом. То есть, такой многоугольник не существует.

Answer 2

1) Для нахождения количества сторон выпуклого многоугольника, в котором каждый угол равен 150°, мы можем воспользоваться формулой для суммы внутренних углов многоугольника. Эта формула гласит: Сумма внутренних углов = (n - 2) × 180°, где n - количество сторон многоугольника.

Для угла 150°: 150° = (n - 2) × 180° 150° = (n - 2) × 180° / 180° 150° = (n - 2) n - 2 = 150 n = 150 + 2 n = 152

Таким образом, в многоугольнике с углами по 150°, количество сторон равно 152.

2) Аналогично, для угла 170°: 170° = (n - 2) × 180° 170° = (n - 2) × 180° / 180° 170° = (n - 2) n - 2 = 170 n = 170 + 2 n = 172

В многоугольнике с углами по 170° количество сторон равно 172.

3) Для многоугольника, в котором сумма внутренних углов в три раза больше суммы внешних углов, воспользуемся следующей формулой:

Сумма внутренних углов = (n - 2) × 180° Сумма внешних углов = 360° (все внешние углы выпуклого многоугольника равны 360° / n)

По условию задачи, сумма внутренних углов в три раза больше суммы внешних углов:

(n - 2) × 180° = 3 × 360° / n

(n - 2) × 180° = 1080° / n

Умножим обе стороны на n, чтобы избавиться от дроби:

(n - 2) × 180° × n = 1080°

(n - 2) × 180°n = 1080°

Распределим 180°n на левой стороне:

180°n² - 360°n = 1080°

Поделим обе стороны на 180:

n² - 2n = 6

n² - 2n - 6 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -2, и c = -6. Подставим значения:

D = (-2)² - 4 × 1 × (-6) D = 4 + 24 D = 28

Теперь найдем два корня уравнения:

n₁ = (-b + √D) / (2a) n₁ = (2 + √28) / 2 n₁ = (2 + 2√7) / 2 n₁ = 1 + √7

n₂ = (-b - √D) / (2a) n₂ = (2 - √28) / 2 n₂ = (2 - 2√7) / 2 n₂ = 1 - √7

Таким образом, получаем два корня: n₁ ≈ 3.65 и n₂ ≈ -0.65. Однако в данном контексте число сторон многоугольника должно быть положительным целым числом, поэтому n₁ не подходит. Таким образом, количество сторон выпуклого многоугольника, в котором сумма внутренних углов в три раза больше суммы внешних углов, равно n₂, что приближенно равно 1 - √7.