Question

Даны точки M(3;1;4), N( 1;6;1), K( 1;1;6), P(0;4; 1). Найдите: a) угол между прямой KP и плоскостью MNK; в) расстояние от точки P до плоскости MNK;

Answer 1

Ответ:

а)  $\phi \approx 17^\circ$

в) d = √3

Объяснение:

$M(3;\; 1;\; 4),$  $N(1;\; 6;\; 1),$  $K(1;\; 1;\; 6),$  $P(0;\; 4;\; 1)$

а)

Вычислим координаты вектора $\overrightarrow{KP}$ как разность соответствующих координат конца и начала вектора:

$\overrightarrow{KP}\; \{ x_P-x_K;\; y_P-y_K;\; z_P-z_K\}$

$\overrightarrow{KP}\; \{0-1;\;4-1;\;1-6\}$

$\overrightarrow{KP}\; \{-1;\;3;\;-5\}$

Общий вид уравнения плоскости:

$ax+by+cz+d=0$

Подставим координаты точек М, N и К в уравнение:

$M(3;\; 1;\; 4):$   $3a+b+4c+d=0$

$N(1;\; 6;\; 1):$    $a+6b+c+d=0$

$K(1;\; 1;\; 6):$    $a+b+6c+d=0$

Получаем систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными:

$\left\{ \begin{array}{lll}3a+b+4c+d=0\\a+6b+c+d=0\\a+b+6c+d=0\end{array}$

Вместо одной переменной возьмем число, отличное от нуля. Пусть $d=1$.

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\3a+b+4c+1=0\\a+6b+c+1=0\\a+b+6c+1=0\end{array}$

Вычтем из третьего уравнения четвертое:

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\3a+b+4c+1=0\\5b-5c=0\\a+b+6c+1=0\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\3a+b+4c+1=0\\b=c\\a+b+6c+1=0\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\b=c\\3a+5c+1=0\\a+7c+1=0\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\b=c\\a=-7c-1\\3(-7c-1)+5c+1=0\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\b=c\\a=-7c-1\\-21c-3+5c+1=0\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\b=c\\a=-7c-1\\-16c=2\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{llll}d=1\\c=-\dfrac{1}{8}\\b=-\dfrac{1}{8}\\a=\dfrac{7}{8}-1=-\dfrac{1}{8}\end{array}$

$-\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{8}y-\dfrac{1}{8}z+1=0$

Домножим на (- 8):

$x+y+z-8=0$   - уравнение плоскости MNK.

Вектор, перпендикулярный к плоскости MNK:

$\vec n\; \{1;\; 1;\; 1\}$

$\overrightarrow{KP}\; \{-1;\;3;\;-5\}$

Найдем косинус угла α между векторами $\overrightarrow{KP}$ и $\vec n$.

$\cos\alpha=\dfrac{\overrightarrow{KP}\cdot \vec n}{|\overrightarrow{KP}|\cdot |\vec n|}$

$\cos\alpha =\dfrac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

$\cos\alpha =\dfrac{-1\cdot 1+3\cdot 1+(-5)\cdot 1}{\sqrt{1+9+25}\cdot \sqrt{1+1+1}}=$

$=\dfrac{-1+3-5}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{3}}=-\dfrac{3}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{105}}{35}$

Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между прямой и нормалью к плоскости.

$\sin\phi =|\cos\alpha |=\dfrac{\sqrt{105}}{35}\approx 0,2928$

$\phi \approx 17^\circ$

в) Расстояние от точки $A(x_1;\; y_1;\; z_1)$ до плоскости, заданной уравнением $ax+by+cz+d=0$, находится по формуле:

$d=\dfrac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

$P(0;\; 4;\; 1)$

Уравнение плоскости MNK:

$x+y+z-8=0$

$d=\dfrac{|1\cdot 0+1\cdot 4+1\cdot 1-8|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{|4+1-8|}{\sqrt{3}}=\dfrac{|-3|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие векторы и формулы:

1. Вектор, соединяющий две точки: A = B - A, где A и B - координаты точек. 2. Вектор, перпендикулярный плоскости: N = A x B, где A и B - векторы, соединяющие точки. 3. Вектор, соединяющий точку и плоскость: H = P0 - P, где P0 - произвольная точка плоскости, а P - точка, расстояние до которой мы хотим найти. 4. Угол между двумя векторами: cos(θ) = (A . B) / (||A|| * ||B||), где . - скалярное произведение, ||A|| - длина вектора A. 5. Расстояние от точки до плоскости: d = |A . N| / ||A||, где . - скалярное произведение, |A . N| - модуль скалярного произведения.

Давайте применим эти формулы к вашей задаче.

a) Угол между прямой KP и плоскостью MNK

1. Вычислим векторы, соединяющие точки: - A = K - M = (1-3, 6-1, 1-4) = (-2, 5, -3) - B = P - K = (0-1, 4-6, 1-1) = (-1, -2, 0)

2. Вычислим вектор, перпендикулярный плоскости: - N = A x B = (-2, 5, -3) x (-1, -2, 0) = (0, -6, 2)

3. Вычислим угол между векторами KP и N: - cos(θ) = (A . B) / (||A|| * ||B||) = (-2*-1 + 5*-2 + -3*0) / (sqrt((-2)^2 + 5^2 + (-3)^2) * sqrt((-1)^2 + (-2)^2 + 0^2)) = 6 / (sqrt(29) * sqrt(3)) = 6 / sqrt(87) - θ = arccos(6 / sqrt(87))

b) Расстояние от точки P до плоскости MNK

1. Вычислим вектор, соединяющий точку и плоскость: - H = P - M = (0-3, 4-1, 1-4) = (-3, 3, -3)

2. Вычислим расстояние от точки до плоскости: - d = |A . H| / ||A|| = |(-2, 5, -3) . (-3, 3, -3)| / sqrt((-2)^2 + 5^2 + (-3)^2) = 6 / sqrt(29) = 6 / sqrt(87)

Таким образом, угол между прямой KP и плоскостью MNK равен arccos(6 / sqrt(87)), а расстояние от точки P до плоскости MNK равно 6 / sqrt(87).