Question

Сторона АВ квадрата ABCD является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АЕВ, причём угол DAE - тупой. Прямая ЕС пересекает сторону AB в точке N. Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно прямой ЕС,пересекает отрезок AD в точке F. Найдите AF, если площадь треугольника AEB равна 81.​

Answer 1

Ответ:

4 .....................................

Объяснение:

Answer 2

Дано, что сторона AB квадрата ABCD является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АЕВ, причём угол DAE - тупой.

Рассмотрим треугольник AEB. Поскольку треугольник является прямоугольным и гипотенузой является сторона AB квадрата, то вписанный вокруг него круг имеет диаметр AB.

Так как гипотенуза равнобедренного треугольника имеет длину, равную стороне квадрата AB, то медиана AM этого треугольника (AM – высота, проведенная из вершины А) разделяет гипотенузу на две равные части.

Пусть точка N - точка пересечения прямой ES со стороной AB. Рассмотрим треугольники ADM и CNM.

Поскольку AM - медиана, она делит боковую сторону соответствующего треугольника пополам. Следовательно, DM = MN.

Рассмотрим треугольник CND. Поскольку прямая CN перпендикулярна прямой ES, то угол CEN прямой. Так как DM = MN, а угол CNM прямой, то треугольник CND равнобедренный. Значит, CD = DN и угол CND также равен прямому углу.

Теперь рассмотрим треугольник AED. В нем угол DAE тупой, поэтому сторона DE (гипотенуза) будет больше стороны AE.

Площадь треугольника AEB равна 81. Из свойств треугольника ADE следует, что площадь треугольника AED в два раза больше, чем площадь треугольника AEB. Следовательно, площадь треугольника AED равна 162.

Так как треугольник AED прямоугольный, то сторона DE является гипотенузой. А сторона DE равна сумме сторон DA и AE.

Поэтому DE = DA + AE.

Поскольку площадь треугольника AED равна 162, то:

(1/2)*DA*AE = 162.

DA*AE = 324.

На основании свойств площадей треугольников ADE и AEB, площадь треугольника AEB равна половине площади треугольника AED.

Таким образом, (1/2)*DA*AE = 81.

DA*AE = 162.

Отсюда, DE = 18.

Следовательно, DA + AE = 18.

Но сторона AB является гипотенузой равнобедренного прямоугольного треугольника АЕВ, поэтому DA = AE.

Делаем вывод, что 2*DA = 18.

Таким образом, DA = AE = 9.

Теперь перейдем к отрезку AF.

Отрезок AF является проекцией отрезка DM на сторону DA прямоугольного треугольника ADM.

Поскольку угол CNM - прямой, а DC = DN, то треугольник DCM - равнобедренный. Следовательно, DM = CM = MD.

Отрезок DM является медианой треугольника ADM, располагающейся к стороне DA.

Таким образом, площадь треугольника ADM равна площади треугольника AMD.

Площадь треугольника ADM составляет 1/2 * AD * DM.

Из предыдущих рассуждений DM = MD.

Отсюда, площадь треугольника ADM = 1/2 * AD * MD.

Так как площадь треугольника ADM равна площади треугольника AMD, мы получаем:

1/2 * AD * MD = 1/2 * AD * DM.

Отсюда следует, что MD = DM.

Таким образом, отрезок DM равен собственной проекции на любую из своих сторон.

Аналогично, поскольку угол EDA прямой, отрезок AD является проекцией отрезка AM на сторону DM прямоугольного треугольника AED.

Таким образом, отрезок AD также равен своей проекции на любую из своих сторон.

Поэтому, отрезок AF также равен своей проекции AF на сторону AD.

Так как AF + FD = AD,

то AF = AD - FD.

Отрезок FD - это проекция отрезка DM на сторону DA.

Из свойств подобных треугольников следует, что AD/DM = AF/DF.

Поэтому:

(AD - DF)/DF = AF/DF.

AD - DF = AF.

Таким образом, AF = AD - DF.

Теперь рассмотрим треугольники DFM и DNC.

Отрезок DF - это проекция отрезка DM на сторону DA прямоугольного треугольника DMC.

Отрезок DN - это проекция отрезка DM на сторону DC прямоугольного треугольника DNC.

Поскольку угол DCN равен прямому, то треугольник DNC является прямоугольным.

Также, угол DMC равен прямому, поэтому треугольник DMC является прямоугольным.

Так как отрезок DE является гипотенузой прямоугольного треугольника DMC и отрезок DC является катетом, а DM - его проекция на сторону DC, то DF является проекцией отрезка DE на сторону DC.

То есть, DF = DM.

Так как углы DNC и DMC прямые, а сторона DC является общей для этих треугольников, то треугольники DNC и DMC равны по двум катетам.

Таким образом, DC = DN.

Поскольку в равнобедренном треугольнике категерпендикулярна стороне, соединяющей вершины основания, то отрезок AF также является катетом и перпендикулярен стороне AE.

Отсюда следует, что треугольники AEF и AFC равны по двум катетам.

То есть, AF = AE.

Но AE = 9.

Таким образом, AF = 9.

Ответ: af = 9.