Question

Помогите,теорема о свойстве двух касательных к окружности проведенному из одной точки

Answer 1

Теорема. Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными.Пусть АВ и АС — касательные к окружности О (черт. 328).Требуется доказать, что АВ =АС и ОА является биссектрисой угла А, т. е. / 1 = / 2.Треугольники ОВА и ОСА прямоугольные, так как касательные АВ и АС перпендикулярны к радиусам ОВ и ОС в точках В и С. Сторона ОА общая. Катеты ОВ и ОС равны, как радиусы одного и того же круга. Прямоугольные треугольники ОВА и ОСА равны по гипотенузе и катету. Отсюда АВ = АС и / 1 = / 2, т. е. ОА есть биссектриса угла А.На этом свойстве касательных основано устройство прибора, называемого центроискателем, который нередко применяется в столярных и слесарных мастерских для отыскания центра круга на различных деталях. Центроискатель (черт. 329) представляет собой угол, составленный из двух деревянных или металлических пластинок, в котором приделана биссектриса этого угла.Центроискатель прикладывают к кругу так, чтобы пластинки стали касательными, и проводят прямую по биссектрисе угла. Затем центроискатель поворачивают и снова проводят прямую по биссектрисе угла. Точка пересечения этих двух прямых и определит центр круга. 

Answer 2

Теорема о свойствах двух касательных к окружности, проведенных из одной точки, известна как "теорема о касательных из внешней точки". Она утверждает следующее:

Если из внешней точки P провести две касательные к окружности, то они будут равны по длине.

Давайте подробно рассмотрим эту теорему:

1. Пусть у нас есть окружность с центром O, и из внешней точки P проведены две касательные к окружности, которые касаются окружности в точках A и B, как показано на рисунке.

         O
         |
         |\
         | \
         |  \
         |   \
         |    \
         |     \
         |      \
         |       \
         |        \
         |         \
         P---------A
                    \
                     \
                      \
                       \
                        \
                         B
   

2. Теперь, давайте докажем, что отрезки PA и PB равны по длине.

3. Рассмотрим треугольники OPA и OPB. Обратите внимание, что оба эти треугольника имеют общий катет OP (потому что это отрезок, идущий из внешней точки P до центра O).

4. Кроме того, у нас есть два угла: ∠OAP и ∠OBP. Они оба равны 90 градусов, так как касательные всегда перпендикулярны радиусам окружности, проведенным в точках касания.

5. С учетом этих фактов, у нас есть два прямоугольных треугольника с общим катетом OP и равными прямыми углами. Таким образом, по теореме о равенстве гипотенуз и катетов в прямоугольных треугольниках, мы можем сказать, что PA и PB равны по длине.

Таким образом, теорема утверждает, что касательные, проведенные из внешней точки к окружности, равны по длине.