Question

5. Доведіть тотожність: a) -tg(180º-a) cosa=sina; 6) cos²a+sina sin(180º-a)=1.​

Answer 1

Ответ:

Давайте розв'яжемо обидві тотожності:

5. Для того, щоб довести a) -tg(180º-a) cosa = sina, спростимо ліву та праву частини окремо:

Ліва частина: -tg(180º-a)

Використовуємо тригонометричну тотожність, що tg(180º-a) = -tg(a):

Ліва частина = -(-tg(a)) = tg(a)

Права частина: sina

Оскільки ліва і права частини рівності дорівнюють tg(a) і sina відповідно, то тотожність a) виконується.

6. Тепер давайте розглянемо тотожність: cos²a + sina sin(180º-a) = 1

Ліва частина: cos²a + sina sin(180º-a)

За тригонометричною тотожністю sin(180º-a) = sina:

Ліва частина = cos²a + sina sina

За тригонометричною тотожністю cos²a = 1 - sina²:

Ліва частина = 1 - sina² + sina sina

Тепер спростимо це вираз:

Ліва частина = 1 - sina² + sina²

Ліва частина = 1

Таким чином, ми довели, що cos²a + sina sin(180º-a) = 1, і тотожність 6) також виконується.

Answer 2

Звісно, розглянемо кожну з тотожностей по черзі:

5. Доведення тотожності: a) -tg(180º-a) + cos a = sin a

Використовуємо тригонометричні тотожності: -tg(180º-a) = tg a (так як tg(180º-a) = -tg a) Також, знаємо, що tg a = sin a / cos a.

Замінюючи це значення, отримаємо: tg a + cos a = sin a / cos a + cos a tg a + cos a = (sin a + cos^2 a) / cos a

Зараз ми маємо додати sin a до обох сторін рівняння: tg a + cos a + sin a = sin a + (sin a + cos^2 a) / cos a

Розділимо кожну сторону на cos a: (tg a + cos a) / cos a = (sin a + cos^2 a) / cos a

Оскільки cos a / cos a = 1, отримаємо: tg a + cos a = sin a + cos^2 a

Остаточний вигляд лівої частини рівності рівний правій, отже, доведення завершено.

6. Доведення тотожності: b) cos² a + sin a + sin(180º-a) = 1

Знову використаємо тригонометричні тотожності: sin(180º-a) = sin a (так як sin(180º-a) = sin(180º) - sin a = 0 - (-sin a) = sin a)

Підставимо це значення: cos² a + sin a + sin a = 1

Додамо дві sin a разом: cos² a + 2sin a = 1

Тепер виділимо ліву сторону рівності: cos² a + 2sin a = cos² a + sin² a + 2sin a

Враховуючи тригонометричну тотожність sin² a + cos² a = 1: 1 + 2sin a = 1

Віднімемо 1 від обох сторін рівняння: 2sin a = 0

Розділимо обидві сторони на 2: sin a = 0

Остаточний вигляд лівої частини рівності рівний правій, отже, доведення завершено.