Question

докажите, что точки А(-4;-8;8), В(-2;-2;6), С(4;0;-10), D(2;-6;-8) являются вершинами параллелограмма ABCD.

Answer 1

По признаку параллелограмма,  четырехугольник является параллелограммом,  если две его стороны параллельны и равны.  Проверим стороны  АВ и СД              Точка С(-4,0,-10)
АВ=√(-4+2)²+(-8+2)²+(8-6)²=√44
СД=√(-4+2)²+(0+6)²+(-10+8)²=√44
Координаты вектора АВ{-2,6,-2},  координаты  вектора СД{-2,6,-2}.  Значит,  векторы равны,  т.к. имеют равные координаты.  Т.Е. АВ=СД,  АВIIСД.  АВСД - параллелограмм

Answer 2

Для доказательства того, что точки A(-4;-8;8), B(-2;-2;6), C(4;0;-10) и D(2;-6;-8) являются вершинами параллелограмма ABCD, нам нужно показать, что соответствующие стороны параллелограмма параллельны, и что противоположные стороны равны.

1. Параллельность сторон: Для доказательства параллельности сторон AB и CD, а также сторон BC и AD, мы можем вычислить векторы, образованные этими сторонами, и проверить, что они коллинеарны (параллельны). Вектор AB можно найти, вычитая координаты точек A и B:

Вектор AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - (-4), -2 - (-8), 6 - 8) = (2, 6, -2)

Вектор CD можно найти, вычитая координаты точек C и D:

Вектор CD = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C) = (2 - 4, -6 - 0, -8 - (-10)) = (-2, -6, 2)

Теперь мы проверим, являются ли эти два вектора коллинеарными. Для этого мы можем убедиться, что их пропорции одинаковы:

AB/CD = (2/(-2), 6/(-6), (-2)/2) = (-1, -1, -1)

Так как пропорции совпадают, стороны AB и CD параллельны. Аналогично, стороны BC и AD также параллельны.

2. Равенство сторон: Для доказательства равенства сторон AB и CD, а также сторон BC и AD, мы можем вычислить длины этих сторон и проверить, что они равны.

Длина стороны AB (|AB|) вычисляется как:

|AB| = √((2^2) + (6^2) + (-2^2)) = √(4 + 36 + 4) = √44

Длина стороны CD (|CD|) вычисляется также:

|CD| = √((-2^2) + (-6^2) + (2^2)) = √(4 + 36 + 4) = √44

Таким образом, |AB| = |CD|, что доказывает равенство сторон AB и CD. Аналогично, можно показать, что стороны BC и AD равны.

Таким образом, мы доказали, что стороны AB и CD параллельны и равны, и стороны BC и AD также параллельны и равны. Эти два условия совместно гарантируют, что точки A, B, C и D являются вершинами параллелограмма ABCD.